Question

1．如图，抛物线y=ax²+bx+6与x轴交于点A（-2，0），B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），将C（0，6）代入可求得a的值；
（2）先求得点D的坐标，作点DE∥x轴，过点B作BE∥y轴，作点D关于BC的对称点D′，则BD=BD′，过点D′作D′F⊥x轴，垂足为F．接下来，证明△DEB≌△D′FB，则可得到点D′的坐标为（0，2），然后求得直线BD′的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+2，最后将y=-$\frac{1}{3}$x+2与y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6联立求得点P的坐标即可．

解答 解：（1）当x=0时，y=6，
∴点C的坐标为（0，6）．
设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），将C（0，6）代入得：-12a=6，解得a=-$\frac{1}{2}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-6），整理得：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6．
（2）将x=4代入得：y=6．
∴D（4，6）．
如图所示：作点DE∥x轴，过点B作BE∥y轴，作点D关于BC的对称点D′，则BD=BD′，过点D′作D′F⊥x轴，垂足为F．

∵B（6，0），C（0，6），
∴OB=OC．
∴∠OBC=45°．
∴∠OBC=∠EBC．
又∵∠D′BC=∠DBC，
∴∠DBE=∠D′BF．
在△DEB和△D′FB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D′FB=∠DEB}\\{∠DBE=∠D′BF}\\{BD=BD′}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△D′FB．
∴D′F=ED=2，BF=BE=6．
∴点D′的坐标为（0，2）．
设BD′的解析式为y=kx+2，将点B的坐标代入得：6k+2=0，解得k=-$\frac{1}{3}$，
∴BD′的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+2．
将y=-$\frac{1}{3}$x+2代入y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6得：-$\frac{1}{3}$x+2=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，整理得：3x²-14x-24=0，解得：x=6（舍去）或x=-$\frac{4}{3}$．
将x=-$\frac{4}{3}$代入得：y=-$\frac{1}{3}$×（-$\frac{4}{3}$）+2=$\frac{4}{9}$+2=$\frac{22}{9}$
∴点P的坐标为（-$\frac{4}{3}$，$\frac{22}{9}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，轴对称的性质，求得点D′的坐标是解题的关键．