Question

16．如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，AD⊥AB（点D在AB的右上方），E为AB边上一点，且BE=4，DE=6，当CD平分∠ADE时，CE的长度为2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠ABC=45°，则∠CAD=135°，可把△CAD绕点C逆时针90°得到△CBF，如图，根据旋转的性质得CF=CD，∠1=∠3，∠CBF=∠CAD=135°，则可判断点F在AB的延长线上，由于∠1=∠2，则∠2=∠3，由CF=CD得∠3+∠5=∠2+∠4，所以∠5=∠4，则FE=DE=6，根据等腰三角形性质得CE平分∠DCF，所以∠ECF=45°，然后证明△EBC∽△ECF，于是利用相似比可计算出CE的长．

解答 解：∵在等腰直角△ABC中，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAE=90°，
∴∠CAD=135°，
把△CAD绕点C逆时针90°得到△CBF，如图，则CF=CD，∠1=∠3，∠CBF=∠CAD=135°，
∵∠CBF+∠ABC=135°+45°=180°，
∴点F在AB的延长线上，
∵CD平分∠ADE，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF，即∠3+∠5=∠2+∠4，
∴∠5=∠4，
∴FE=DE=6，
∴CF为DF的垂直平分线，
∴CE平分∠DCF，
∴∠ECF=45°，
∵∠EBC=∠ECF，∠BEC=∠CEF，
∴△EBC∽△ECF，
∴CE：EF=BE：CE，即CE：6=4：CE，
∴CE=2$\sqrt{6}$．
故答案为2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．解决本题的关键是利用旋转把CE、BE、DE放在两个相似三角形中，从而利用相似比计算CE的长．