Question

3．在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，AC上，且DE∥AC，∠BEF=∠A．
（1）如图1，当BD=EF时，图1中是否存在与BE相等的线段？若存在与BE相等的线段？若存在请找出，并加以证明；若不存在，请说明理由．
（2）如图2，当BD=kEF（其中k＞1时），若AB=m，cosB=$\frac{3}{4}$，求BE的长．（用含k，m的式子表示）

Answer 1

分析 （1）过F作FP∥AB交BC于P，根据平行线的直线得到∠EPF=∠B，由已知条件得到∠A=∠BDE=∠BEF，推出△BDE≌△EFP，得到BE=PF，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，等量代换得到∠FPE=∠C，于是得到FP=FC，即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到BC=$\frac{3}{2}$m，BE=$\frac{3}{2}$BD，由已知条件BD=kEF，且EF=PE，求得BE=$\frac{3}{2}$k•PE，BP=（$\frac{3}{2}$k-1）PE，根据平行线的性质得到∠EPF=∠B，于是得到PF=$\frac{3}{2}$PE，由于PB+PC=BC=$\frac{3}{2}$m，列方程即可解得结果．

解答 解：（1）存在，BE=CF，
理由：如图1，过F作FP∥AB交BC于P，
∴∠EPF=∠B，
∵∠BEF=∠A，
∵DE∥AC，
∴∠A=∠BDE=∠BEF，
在△BDE与△EFP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠EPF}\\{∠BDE=∠PEF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△EFP，
∴BE=PF，
∵∠B=∠C，
∴∠FPE=∠C，
∴FP=FC，
∴BE=CF；

（2）如图2，过A作AH⊥BC交BC于H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC，
∵cosB=$\frac{3}{4}$，AB=m，
∴BC=2BH=$\frac{3}{2}$m，BE=$\frac{3}{2}$BD，
∵BD=kEF，∵DE∥AC，∴∠DEB=∠C，∠BDE=∠BAC，∴∠BDE=∠BEF，∵PF∥AB，∴∠B=∠FPE，∴∠PFE=∠C，∴∠FPE=∠PFE，∴EF=PE，
∴BE=$\frac{3}{2}$k•PE，
∴BP=（$\frac{3}{2}$k-1）PE，
∵∠EPF=∠B，
∴PF=$\frac{3}{2}$PE，
∴PC=$\frac{3}{2}$PF=$\frac{9}{4}$PE，
∵PB+PC=BC=$\frac{3}{2}$m，
即（$\frac{3}{2}$k-1）PE+$\frac{9}{4}$PE=$\frac{3}{2}$m，
∴PE=$\frac{6m}{6k+5}$，
∴BE=$\frac{3}{2}k•PE=\frac{9mk}{6k+5}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数，正确的作出辅助线是解题的关键．