Question

18．如图，AB为⊙O的直径，AC、AD为⊙O的弦，AB平分∠CAD．
（1）如图1，求证：AC=AD；
（2）如图2，弦BE交AC于点F，点G在AD上，FG=FE，FA平分∠EFG，连接BC，求证：∠CBE=2∠BAD；
（3）在（2）的条件下，如图3，FG交AB于H，若FC=2AF，BC=$\frac{5}{4}$，求BH的长．

Answer 1

分析 （1）利用已知以及等腰三角形的性质得出∠CAO=∠DAO，进而得出∠AOC=∠AOD，即可得出答案；
（2）首先得出△EFA≌△GFA（SAS），进而得出∠EAF=∠FAG，再得出∠CBE=∠FAG=2∠BAD，即可得出答案；
（3）首先得出△FBC≌△TBC（ASA），进而得出FC=TC，求出AC的长，即可得出AB的长，再得出BH=$\frac{4}{5}$AB，求出答案．

解答 （1）证明：如图1，连接CO，DO，
∵∠COB=2∠CAO，∠BOD=2∠DAO，
∠CAO=∠DAO，
∴∠BOC=∠BOD，
∵∠AOC=180°-∠BOC，∠AOD=180°-∠BOD，
∴∠AOC=∠AOD，
∴AC=AD；

（2）证明：如图2，连接EA，
在△EFA和△GFA中
∵$\left\{\begin{array}{l}{FA=FA}\\{∠EFA=∠GFA}\\{FG=FE}\end{array}\right.$，
∴△EFA≌△GFA（SAS），
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠EAF=∠CBE，
∴∠CBE=∠FAG=2∠BAD，
即∠CBE=2∠BAD；

（3）解：如图3，连接DB并延长交AC的延长线于点T，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠CBD+∠CAD=180°，∠CBT+∠CBD=180°，
∴∠CBT=∠CAD=∠CBE，
∵∠BCT=180°-∠BCF=90°，
∴∠BCT=∠BCF，
在△FBC和△TBC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCB=∠BCT}\\{BC=BC}\\{∠CBF=∠CBT}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△TBC（ASA），
∴FC=TC，
设AF=k，则FC=CT=2k，AD=3k，AT=5k，
在Rt△ADT中，DT=$\sqrt{A{T}^{2}-D{A}^{2}}$=4k，
∴tanT=$\frac{AD}{DT}$=$\frac{3k}{4k}$=$\frac{3}{4}$，
在Rt△BCT内，tanT=$\frac{BC}{CT}$，
∴CT=$\frac{5}{4}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴AC=$\frac{3}{2}$CT=$\frac{3}{2}$×$\frac{5}{3}$=$\frac{5}{2}$，
在Rt△ABC内，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∵∠FGA=∠AEB=90°，∠D=90°，
∴∠FGA=∠D，
∴FG∥DT，
∴$\frac{BH}{AB}$=$\frac{FT}{AT}$=$\frac{4k}{5k}$，
BH=$\frac{4}{5}$AB=$\frac{4}{5}$×$\frac{5\sqrt{5}}{4}$=$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了圆的综合以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确求出AB的长是解题关键．