Question

已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于点Q。
（1）请你写出此时图形中成立的一个结论（任选一个）；
（2）当点P满足什么条件时，有AQ+BC=CQ，请证明你的结论；
（3）当点Q在AD的什么位置时，可证得PC=3PQ，并写出论证的过程。

Answer 1

解：（1）△APQ∽△BCP； （2）当P为AB中点时，有AQ+BC=CQ， 证明：连接CQ，延长QP交CB的延长线于点E， 可证△APQ≌△BPE， 则AQ=BE，PQ= PE， 又因为CP⊥QE，可得CQ= CE， 所以AQ+BC=CQ； （3）当AQ=时，有PC=3PQ， 证明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=BC=AB， 又因为直角三角板的顶点P在边AB上， 所以∠1+∠2=180°-∠QPC=90°， 因为Rt△CBP中，∠3+∠2=90°， 所以∠1=∠3， 所以△APQ∽△BCP， 所以 因为AQ=， 所以 所以AP=，或AP=（不合题意，舍去）， 所以， 所以PC=3PQ。