Question

已知：如图，直线y=kx+b与双曲线y=

3

x

在第一象限内相交于点M（1，a）和N（3，b），与x轴和y轴分别相交于点A和B，OC⊥AB，垂足为C．
（1）求线段AB的长度；
（2）求OC的长．

Answer 1

分析：双曲线y=

3

x

在第一象限内相交于点M（1，a）和N（3，b），把M，N的坐标代入双曲线y=

3

x

的解析式就得到a，b的值，得到A、B的坐标，根据待定系数法就可以求出函数解析式，求出与x，y轴的交点，根据勾股定理得到AB的长．根据三角形的面积得到OC的长．

解答：解：把点M（1，a）和N（3，b）代入函数y=

3

x

，
解得a=3，b=1，
∴M，N的坐标是（1，3），（3，1），
把（1，3），（3，1）代入一次函数解析式得到

3k+b=1 k+b=3

，
解得k=-1，b=4，
∴直线的方程是：y=-x+4，
在解析式中令y=0，得到A（4，0），
在y=-x+4中，令x=0，得到B（0，4），
∴AB=4

2

；

（2）在直角△AOB中，AO=4，OB=4，
则△AOB是等腰直角三角形，
因而OC=

1

2

AB=2

2

．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及等腰直角三角形的性质，斜边上的高线等于斜边的一半．