Question

17．在△ABC中，AH⊥BC于点H，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图1），而y关于x的函数图象如图2所示．Q （1，$\sqrt{3}$）是函数图象上的最低点．小明仔细观察图1，图2两图，作出如下结论：①AB=2；②AH=$\sqrt{3}$；③AC=2$\sqrt{7}$；④x=2时，△ABP是等腰三角形；⑤若△ABP为钝角三角形，则0＜x＜1；其中正确的是①②③④（填写序号）．

Answer 1

分析 （1）当x=0时，y的值即是AB的长度；
（2）图乙函数图象的最低点的y值是AH的值；
（3）在直角△ACH中，由勾股定理来求AC的长度；
（3）当点P运动到点H时，此时BP（H）=1，AH=$\sqrt{3}$，在Rt△ABH中，可得出∠B=60°，则判定△ABP是等边三角形，故BP=AB=2，即x=2
（5）分两种情况进行讨论，①∠APB为钝角，②∠BAP为钝角，分别确定x的范围即可．

解答 解：（1）当x=0时，y的值即是AB的长度，故AB=2，故①正确；
（2）图乙函数图象的最低点的y值是AH的值，故AH=$\sqrt{3}$，故②正确；
（3）如图乙所示：BC=6，BH=1，则CH=5．
又AH=$\sqrt{3}$，
∴直角△ACH中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{3+25}$=2$\sqrt{7}$，故③正确；
（4）在Rt△ABH中，AH=$\sqrt{3}$，BH=1，tan∠B=$\sqrt{3}$，则∠B=60°．
又△ABP是等腰三角形，
∴△ABP是等边三角形，
∴BP=AB=2，即x=2．
故④正确；
（5）①当∠APB为钝角时，此时可得0＜x＜1；
②当∠BAP为钝角时，过点A作AP⊥AB，
则BP=$\frac{AB}{cos∠B}$=4，
即当4＜x≤6时，∠BAP为钝角．
综上可得0＜x＜1或4＜x≤6时△ABP为钝角三角形，故⑤错误．
故答案为：①②③④．

点评 此题考查了动点问题的函数图象，有一定难度，解答本题的关键是结合图象及函数图象得出AB、AH的长度，第三问推知△ABP是等边三角形是解题的难点．