如图①在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC.CD⊥AB于点D.(1)把Rt△DBC绕点D顺时针旋转45°.点C的对应点为E.点B的对应点为F.请画出△EDF.连接AE.BE.并求∠AEB的度数．(2)如图②.把Rt△DBC绕点D顺时针旋转α度.点C的对应点为E.点B的对应点为F.连接CE.CD.求出∠AEC的度数.并写出线段AE.BE与CE之间的数量关系.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．如图①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，
（1）把Rt△DBC绕点D顺时针旋转45°，点C的对应点为E，点B的对应点为F，请画出△EDF，连接AE，BE，并求∠AEB的度数．
（2）如图②，把Rt△DBC绕点D顺时针旋转α度（0＜α＜90°），点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接CE，CD，求出∠AEC的度数，并写出线段AE、BE与CE之间的数量关系，不证明．
（3）如图②，在（2）的条件下，连接CD交AE于点G，若BC=2$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，α=60°，则CG=1+$\sqrt{3}$．（直接写出结果，不用证明）

分析（1）先画出△DEF，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得CD=$\frac{1}{2}$AB，则DE=$\frac{1}{2}$AB=BD=AD，∠AEB=90°；
（2）①利用四点共圆得∠AEC=∠ABC=45°；②作辅助线构建等腰直角三角形，证明△ACH≌△BCE，得AH=BE，EC=CH，则△CEH是等腰直角三角形，得结论；
（3）过G作GH⊥ED，设DG=x，利用直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半与勾股定理表示出AH、DH的长，利用AD=CD的长得结论．

解答解：（1）∵CD⊥AB，AC=BC，
∴AD=BD，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD，
∴ED=AD=BD，
∴∠DBE=∠DEB，∠AED=∠DAE，
∴∠AED+∠DEB=∠ABE+∠BAE=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠AEB=90°；
（2）如图2，∠BEA=∠BCA=90°，
∴B、E、C、A四点共圆，
∴∠AEC=∠ABC=45°，
AE-$\sqrt{2}$CE=BE，理由是：
过C作CH⊥CE，交AE于H，则∠ACH=∠ECB，
∵∠ACH=∠ECH+∠AEC=90°+45°=135°，
∠BEC=∠AEB+∠AEC=90°+45°=135°，
∴∠ACH=∠BEC，
∵AC=BC，
∴△ACH≌△BCE，
∴AH=BE，EC=CH，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴EH=$\sqrt{2}$EC，
∴BE=AH=AE-EH=AE-$\sqrt{2}$EC；
（3）如图3，过G作GH⊥ED，交AD于H，则∠DGH=∠EDC=60°，
∴∠DHG=30°，
设DG=x，则GH=AH=2x，DH=$\sqrt{3}$x，
Rt△ADC中，AC=$\sqrt{2}$AD，
∴2$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}x+2x$），
∴x=1，
∴CG=2x+$\sqrt{3}x-x$=2+$\sqrt{3}$-1=1+$\sqrt{3}$．

点评本题是四点共圆与几何变换的综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形与四点共圆的性质与判定，尤其是四点共圆在几何中应用不多，要理解并掌握；对于直角三角形中30°的应用是常考题型，其与边的关系要熟练掌握．

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