Question

7．如图，已知四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，E为AB的中点，EF⊥CD于F，且EF=$\frac{1}{2}$AB，连接AF，BF，在不添加辅助线和字母情况下，按要求完成下列各题
（1）写出三个表示线段数量关系的等式；
（2）写出三对相等的角（直角除外）；
（3）写出两对相似三角形，并选择其中一对给予证明．

Answer 1

分析 （1）由中点的定义和已知条件EF=$\frac{1}{2}$AB即可得出结果；
（2）根据等边对等角得出∠EAF=∠EFA，∠EBF=∠EFB，证出∠AFB=90°，由∠EFD=90°，得出∠AFD=∠EFB；
（3）证出∠CBF=∠CFB，∠EFA=∠CFB，得出∠EAF=∠CBF，得出△EAF∽△CBF；同理△ADF∽△BEF．

解答 （1）解：AE=EF，AE=BE，BE=EF；理由如下：
∵E为AB的中点，且EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE=EF，AE=BE，BE=EF；
（2）解：∠EAF=∠EFA，∠EBF=∠EFB，∠AFD=∠EFB；理由如下：
∵AE=EF，BE=EF，
∴∠EAF=∠EFA，∠EBF=∠EFB，
∵E为AB的中点，且EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴△ABF是直角三角形，
∴∠AFB=90°，
∵EF⊥CD，
∴∠EFD=∠EFC=90°，
∴∠AFD=∠EFB；
（3）解：△EAF∽△CBF；△ADF∽△BEF；理由如下：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°=∠EFC，
∵∠EBF=∠EFB，
∴∠CBF=∠CFB，
∵∠AFE=90°，
∴∠EFA=∠CFB，
∴∠EAF=∠CBF，
∴△EAF∽△CBF；
同理：△ADF∽△BEF．

点评 本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质、直角三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明△AFB是直角三角形是解决问题的关键．