Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．
（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小；
（2）当AB=1，AC=2时，求△DEC的外接圆的半径．

Answer 1

解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴∠DEC=90°，
∴DC是⊙O的直径，
∴O在DC上，
连接OE，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠OEB=90°，
∴∠EBO+∠BOE=90°，
在Rt△ABC中，E为斜边AC的中点，
∴BE=EC=AE=AC（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴∠EBO=∠C，
∵OC=OE，
∴∠C=∠CEO，
∵∠BOE=∠C+∠CEO，
∴∠BOE=2∠C，
∵∠EBO+∠BOE=90°，∠EBO=∠C
∴∠C+2∠C=90°，
∴∠C=30°；

（2）在Rt△ABC中，BC==，
EC=AC=1，
∵∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴DC=，
∴△DEC的外接圆的半径是．
分析：（1）求出O在DC上，连接OE，得出∠EBO+∠BOE=90°，求出BE=EC=AC，推出∠C=∠EBC，得出∠BOE=2∠C，即可求出∠C；
（2）求出EC，证△DEC∽△ABC，推出=，代入求出DC即可．
点评：本题考查的知识点是切线的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力．