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(2011•南充)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m﹣4,0)和B(m,0),与直线y=﹣x+p相交于点A和点C(2m﹣4,m﹣6).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上,且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12,求点P,Q的坐标;
(3)在(2)条件下,若点M是x轴下方抛物线上的动点,当△PQM的面积最大时,请求出△PQM的最大面积及点M的坐标.

解:(1)∵点A(m﹣4,0)和C(2m﹣4,m﹣6)在直线y=﹣x+p上

,解得:
∴A(﹣1,0),B(3,0),C(2,﹣3),
设抛物线y=ax2+bx+c=a(x﹣3)(x+1),
∵C(2,﹣3),代入得:﹣3=a(2﹣3)(2+1),
∴a=1
∴抛物线解析式为:y=x2﹣2x﹣3,
答:抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3.
(2)解:AC=3
AC所在直线的解析式为:y=﹣x﹣1,
∠BAC=45°,
∵平行四边形ACQP的面积为12,
∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2
过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K,DK=2
∴DN=4,
∵ACPQ,PQ所在直线在直线ACD的两侧,可能各有一条,
∴PQ的解析式或为y=﹣x+3或y=﹣x﹣5,

解得:
,方程无解,
即P1(3,0),P2(﹣2,5),
∵ACPQ是平行四边形,A(﹣1,0),C(2,﹣3),
∴当P(3,0)时,Q(6,﹣3),
当P(﹣2,5)时,Q(1,2),
∴满足条件的P,Q点是P1(3,0),Q1(6,﹣3)或P2(﹣2,5),Q2(1,2)
答:点P,Q的坐标是P1(3,0),Q1(6,﹣3)或P2(﹣2,5),Q2(1,2).

(3)解:设M(t,t2﹣2t﹣3),(﹣1<t<3),
过点M作y轴的平行线,交PQ所在直线雨点T,则T(t,﹣t+3),
MT=(﹣t+3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+t+6,
过点M作MS⊥PQ所在直线于点S,
MS=MT=(﹣t2+t+6)=﹣(t﹣2+
∴当t=时,M(,﹣),△PQM中PQ边上高的最大值为
答:△PQM的最大面积是,,点M的坐标是(,﹣).

解析

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