Question

【题目】（1）问题发现:如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD交于点M．①的值为　 　；②∠AMB的度数为　 　；

（2）类比探究 :如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．

（3）拓展延伸:在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

Answer 1

【答案】（1）①1；②36°；（2）=，∠AMB=90°；（3）3或4 ．

【解析】

（1）①由∠AOB=∠COD推出∠COA=∠DOB，利用边角边即可证△COA与△DOB全等，即可求出结果；
②先证出∠CAO与∠DBO相等，分别加∠AOB，∠AMB，结果仍相等，即可得到∠AOB=∠AMB=36°；
（2）证明△DOB与△COA相似即可求出AC：BD的值，再通过对顶角相等及∠OBD=∠CAO即可证出∠AMB的度数为90°；
（3）分点M在直线OA的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比设未知数，在Rt△AMB中利用勾股定理构造方程即可求出AC的长．

解：（1）①∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA，
∴∠COA=∠DOB，
又∵OA=OB，OC=OD，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴=1，
故答案为：1；
②设AO与BD交于点E，
由①知，△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB+∠DBO=∠DEO，
∠AMB+∠CAO=∠DEO，
∴∠AOB=∠AMB=36°，
故答案为：36°；

（2）在△OAB和△OCD中，
∵∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，
∴tan30°=，
∵∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA，
即∠DOB=∠COA，
∴△DOB∽△COA，
∴，
∠DBO=∠CAO，
∵∠DBO+∠OEB=90°，∠OEB=∠MEA，
∴∠CAO+∠MEA=90°，
∴∠AMB=90°，
∴=，∠AMB=90°；

（3）①如图3-1，当点M在直线OB左侧时，
在Rt△OCD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，
在Rt△OAB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2，
由（2）知，∠AMB=90°，且=，
∴设BD=x，则AC=AM=x，
在Rt△AMB中，
AM2+MB2=AB2，
∴（x）2+（x+2）2=（2）2，
解得，x1=3，x2=-4（舍去），
∴AC=AM=3；

②如图3-2，当点M在直线OB右侧时，
在Rt△AMB中，
AM2+MB2=AB2，
∴（x）2+（x-2）2=（2）2，
解得，x1=4，x2=-3（舍去），
∴AC=AM=4，

综上所述，AC的长为3或4 ．