Question

【题目】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．

Answer 1

【答案】9

【解析】

要求PM＋PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值,即可求出△PMN周长的最小值．

解：如图：连接MN，作ME⊥AC交AD于E，连接EN，
则EN就是PM＋PN的最小值，

∵菱形ABCD，M、N分别是AB、BC的中点，
∴BN＝BM＝AM，MN=
∵ME⊥AC交AD于E，
∴AE＝AM，
∴AE＝BN，AE∥BN，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴EN＝AB，EN∥AB，
而由题意可知，可得AB＝＝5，

∴EN＝AB＝5，

∴PM＋PN的最小值为5．

∵MN不变，当PM＋PN的最小值时，△PMN周长最小 ，

∴△PMN周长最小=9
故答案为：9．