Question

20．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作$\widehat{AC}$、$\widehat{CB}$、$\widehat{BA}$，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点．
（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为3π；
（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；
（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为2$\sqrt{3}$nπ（请用含n的式子表示）

Answer 1

分析 （1）先求出$\widehat{AC}$的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论；
（2）先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；
（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出．

解答 解：（1）∵等边△ABC的边长为3，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，$\widehat{AC}=\widehat{BC}=\widehat{AB}$，
∴${l}_{\widehat{AC}}={l}_{\widehat{BC}}$=${l}_{\widehat{AB}}$=$\frac{60π×3}{180}$=π，
∴线段MN的长为${l}_{\widehat{AC}}+{l}_{\widehat{BC}}+{l}_{\widehat{AB}}$=3π，
故答案为：3π；

（2）如图1，
∵等边△DEF的边长为2π，等边△ABC的边长为3，
∴S_矩形AGHF=2π×3=6π，
由题意知，AB⊥DE，AG⊥AF，
∴∠BAG=120°，
∴S_扇形BAG=$\frac{120π×{3}^{2}}{360}$=3π，
∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S_矩形AGHF+S_扇形BAG）=3（6π+3π）=27π；

（3）如图2，

连接BI并延长交AC于D，
∵I是△ABC的重心也是内心，
∴∠DAI=30°，AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
∴OI=AI=$\frac{AD}{cos∠DAI}=\frac{\frac{3}{2}}{cos30°}$=$\sqrt{3}$，
∴当它第1次回到起始位置时，点I所经过的路径是以O为圆心，OI为半径的圆周，
∴当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为n•2π•$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$nπ，
故答案为2$\sqrt{3}$nπ．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出$\widehat{AC}$的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF扫过的图形，解（3）的关键是得出点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的题目．