先让我们一起来学习方程m2+1=$\sqrt{{m}^{2}+3}$的解法:解:令m2=a.则a+1=$\sqrt{a+3}$.方程两边平方可得.(a+1)2=a+3解得a1=1.a2=-2.∵m2≥0∴m2=1∴m=±1点评:类似的方程可以用“整体换元的思想解决．不妨一试:如图1.在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=ax2+1经过点A.顶点为点B.点P为抛物线上的一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．先让我们一起来学习方程m²+1=$\sqrt{{m}^{2}+3}$的解法：
解：令m²=a，则a+1=$\sqrt{a+3}$，方程两边平方可得，（a+1）²=a+3
解得a₁=1，a₂=-2，∵m²≥0∴m²=1∴m=±1
点评：类似的方程可以用“整体换元”的思想解决．
不妨一试：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+1经过点A（4，-3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．

（1）求抛物线的解析式；
（2）①当P点运动到A点处时，通过计算发现：PO=PH（填“＞”、“＜”或“=”）；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有何数量关系，并证明你的猜想；
（3）当△PHO为等边三角形时，求点P坐标；
（4）如图2，设点C（1，-2），问是否存在点P，使得以P、O、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，于是可得到抛物线的解析式；
（2）①依据两点间的距离公式可求得PO与PH的长，然后可得到问题的答案；②设点P坐标（m，-$\frac{1}{4}$ m²+1），然后用含m的式子表示出PH和PO的
长度，从而可得到问题的答案；
（3）依据等边三角形的性质可得到OP=OH，然后利用两点间的距离公式可得到关于m的方程，然后解得m的值即可；
（4）先依据两点间的距离公式可求得BC、AC、AB的值，然后依据相似三角形的性质可得到$\frac{PH}{HO}$=$\frac{BC}{AB}$，设点P（m，-$\frac{1}{4}$ m²+1），然后列出关于m的比例式，从而可求得m的值．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+1经过点A（4，-3），
∴-3=16a+1，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+1，顶点B（0，1）．
（2）①当P点运动到A点处时．
∵PO=5，PH=5，
∴PO=PH．
故答案为：=．
②结论：PO=PH．理由：设点P坐标（m，-$\frac{1}{4}$ m²+1），
∵PH=2-（-$\frac{1}{4}$m²+1）=$\frac{1}{4}$m²+1PO=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴PO=PH．
（3）∵△PHO为等边三角，
∴OP=OH．
由两点间的距离公式可知：OH=$\sqrt{{m}^{2}+{2}^{2}}$．
∴$\frac{1}{4}$m²+1=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，解得：m=±2$\sqrt{3}$，
∴P（2$\sqrt{3}$，-2）、（-2$\sqrt{3}$，-2）．
（4）∵BC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∴BC=AC，
∵PO=PH，以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，
∴PH与BC，PO与AC是对应边，
∴$\frac{PH}{HO}$=$\frac{BC}{AB}$，设点P（m，-$\frac{1}{4}$ m²+1），
∴$\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}+1}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4\sqrt{2}}$，解得m=±1．
∴点P坐标（1，$\frac{3}{4}$）或（-1，$\frac{3}{4}$）．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、两点间的距离公式、等边三角形的性质、相似三角形的性质，依据题意列出关于m的方程是解题的关键．

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