Question

【题目】如图,Rt△ABC中,∠B＝90°,O是AB上的一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,交AC于点D,其中DE∥OC

（1）求证：AC为⊙O的切线；

（2）若AD＝,且AB、AE的长是关于x的方程x2－4x＋k＝0的两个实数根,求⊙O的半径、CD的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）半径是1，CD=

【解析】

（1）连接OD，由等腰三角形的性质和平行线的性质证得∠CDO=∠CBO=90°，可得∠ODA=90°即可；
（2）在直角三角形OAD中根据勾股定理和跟与系数的关系求出k的值，再求出AB和AE的长，可求出半径长，在直角三角形ABC中根据勾股定理建立方程可求出CD的长．

（1）连接OD，
∵DE∥OC，
∴∠DEB=∠COB，∠DOC=∠ODE．
∵∠ODE=∠OED，
∴∠DOC=∠BOC．
∵OD=OD，OC=OC，
∴∠CDO=∠CBO=90°．
∴∠ODA=90°．
∴AC是⊙O的切线．

（2）设AB=a、AE=b,

∵AB、AE的长是关于x的方程x2－4x＋k＝0的两个实数根，

则ab=k，

∴OA=，OD=

由（1）得：∠ODA=90°．

∵AD＝

在Rt△AOD中，根据勾股定理得：

∴ab=3
∴k=3

∴原方程为x2－4x＋3＝0

解得：

故AB=3,AE=1, ⊙O的半径为=1

∵∠B=90°，AC是⊙O的切线，
∴DC=BC，
设CD=x，在Rt△ABC中，AC=x+，AB=3，BC=x，
∴x2+32＝(x+)2，
解得，x=

∴CD＝

即⊙O的半径为1，CD＝