Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，（点E不与C、D重合）且CD＝nDE， F为AD上一动点，且AE⊥FG于点H．

（1）如图1，求证：AE＝FG；

（2）延长FG、AB相交于点P，且AH＝EH；

①n＝3，求证：FH+PG＝HG；

②若G是PH的中点，直接写出n的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）①证明见解析；②或．

【解析】

（1）如图1中，作GK⊥AD于K．证明△ADE≌△GKF（ASA）即可解决问题．
（2）①如图2中，设FH=a．由tan∠DAE=tan∠P，推出，可得AH=EH=3a，PH=9a，求出HG，PG即可证明．
②如图2中，设AH=EH=x，FH=y，GH=PG=m．构建方程组，求出x，y（用m表示），即可解决问题．

（1）证明：如图1中，作GK⊥AD于K．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB＝∠B＝∠GKA＝90°，

∴四边形ABGK是矩形，

∴AB＝GK＝AD，

∵FG⊥AE，

∴∠AHF＝90°，

∵∠DAE+∠AFH＝90°，∠AFH+∠FGK＝90°，

∴∠DAE＝∠KGF，

∵∠D＝∠GKF＝90°，

∴△ADE≌△GKF（ASA），

∴AE＝FG．

（2）①证明：如图2中，设FH＝a．

∵CD＝nDE，n＝3，

∴CD＝3DE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D＝∠DAB＝90°，CD＝AD，

∵∠AHF＝90°，

∴∠DAE+∠PAH＝90°，∠PAH+∠P＝90°，

∴∠DAE＝∠P，

∴tan∠DAE＝tan∠P，

∴，

∴AH＝EH＝3a，PH＝9a，

∵AE＝FG＝6a，

∴HG＝5a，PG＝4a，

∴FH+PG＝5a，

∴FH+PG＝HG．

②如图2中，设AH＝EH＝x，FH＝y，GH＝PG＝m．

∵AE＝FG，

∴2x＝y+m，

∵△AHF∽△PHA，

∴AH2＝FHPH，

∴x2＝y2m，

∴x2﹣4xm+2m2＝0，

解得或，

∴或，

∴

∴或．