Question

10．已知关于x的函数 y=mx²+（m-3）x-3．
（1）求证：无论m取何实数，此函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m＞0时，如果此函数的图象与x轴公共点的横坐标为整数，求正整数m的值．

Answer 1

分析 （1）分为两种情况：一次函数（m=0时），二次函数（m≠0），根据根与系数的关系得出即可；
（2）求出二次函数与x轴交点的横坐标，即可得出答案．

解答 解：（1）当m=0 时，该函数为一次函数y=-3x-3，它的图象与x轴有公共点，
当m≠0 时，二次函数y=mx²+（m-3）x-3，
△=（m-3）²-4m×（-3）=m²-6m+9+12m=m²+6m+9=（m+3）²，
∵无论m取何实数，总有（m+3）²≥0，即△≥0，
∴方程mx²+（m-3）x-3=0有两个实数根．
∴此时函数y=mx²+（m-3）x-3的图象与x轴有公共点，
综上所述，无论m取何实数，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）∵m＞0，
∴该函数为二次函数，它的图象与x轴的公共点的横坐标为$x=\frac{-（m-3）±（m+3）}{2m}$，
∴x₁=-1，${x_2}=\frac{3}{m}$，
∵此抛物线与x轴公共点的横坐标为整数，
∴正整数m=1或3．

点评 本题考查了二次函数与坐标轴的交点，根与系数的关键的应用，能运用所学的知识点进行计算是解此题的关键，有一定的难度．