Question

如图所示：A是x轴正半轴上的一个动点，以OA为边在x轴下方作矩形OABC，使

AO

AB

=

4

5

，将点B沿经过A点的某直线对折到OC边上D点处，以B为顶点的抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）经过D点，并且与过A、D两点的直线y=mx+n交于P点．
（1）求m的值；
（2）判断点M（2，-3）能否成为矩形OABC的对称中心？请说明理由；
（3）若点M（2，-3）始终在矩形OABC内部，求S_△BDP的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

AO

AB

=

4

5

，可设A的坐标为（4k，0），B的坐标为（0，5k），又由折叠的性质，即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得m的值；
（2）由四边形OABC是矩形，即可求得矩形OABC对称中心为（2k，-2.5k），又由点M（2，-3），分别求得k的可能取值，得到矛盾，即可得点M（2，-3）不能成为矩形OABC的对称中心；
（3）由直线y=mx+n过点A和D，求得直线AD的解析式为：y=

3

4

x-3k，又由抛物线y=a（x-4k）²-5k，过D点，利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式，联立抛物线与直线，求得P点的坐标，由S_△BDP=S_△DAB+S_△PAB与M（2，-3）在矩形内部，即可求得S_△BDP的取值范围．

解答：解：（1）∵

AO

AB

=

4

5

，
∴设A的坐标为（4k，0），B的坐标为（4k，-5k），
根据题意得：AD=AB，
∴OD=

AD2-OA2

=3k，
∴D的坐标为（0，-3k）；
∴

4km+n=0 n=-3k

，
解得：m=

3

4

；

（2）∵四边形OABC是矩形，
∴矩形OABC对称中心为（2k，-2.5k），
∵点M（2，-3），
2k=2，则k=1；
-2.5k=-3，则k=

6

5

；
∴矛盾，
∴M点不是矩形OABC的对称中心；

（3）直线y=mx+n过点A和D，
∴直线AD的解析式为：y=

3

4

x-3k，
设抛物线y=a（x-4k）²-5k，过D点，
代入得：-3k=a（0-4k）²-5k，解得：a=

1

8k

，
抛物线为y=

1

8k

（x-4k）²-5k，
联立抛物线与直线，
解得P点（14k，

15

2

k）
∴S_△BDP=S_△DAB+S_△PAB=

1

2

×5k×4k+

1

2

×5k×10k=35k²，
∵M（2，-3）在矩形内部，
∴

2＜4k -3＞-5k

，
∴k＞

3

5

，
∴S_△BDP＞35×（

3

5

）²=

63

5

，
即S_△BDP＞

63

5

．

点评：此题考查了矩形的性质，折叠的性质，待定系数法求函数的解析式以及三角形面积问题等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．