Question

某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的-堵墙（墙足够长），另外的部分用30米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形（如左图）；②围成一个半圆形（如右图）．设矩形的面积为S₁平方米，宽为x米，半圆形的面积为S₂平方米，半径为r米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案．（π≈3）

Answer 1

分析：本题的关键是根据题意，按照等量关系“矩形面积=长×宽”“半圆面积=

1

2

π×半径²”列出函数关系式，再求其最值．

解答：解：方案①：S₁=x（30-2x）（1分）
=-2x²+30x
=-2（x-

15

2

）²+

225

2

，（2分）
当x=

15

2

米时，
S₁取最大值

225

2

平方米；（3分）
方案②：由30=πr，π≈3，得r=10米，（4分）
S₂=

1

2

πr²=

1

2

×3×100=150平方米，（5分）
∵

225

2

＜150，
∴S₁＜S₂，（6分）
∴应选择方案②．（7分）

点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比较简单．