【题目】如图,△EBF为等腰直角三角形,点B为直角顶点, 四边形ABCD是正方形.
⑴ 求证:△ABE≌△CBF;
⑵ CF与AE有什么特殊的位置关系?请证明你的结论.
【答案】(1)见解析;(2)CF⊥AE,理由见解析
【解析】
(1)根据等腰直角三角形的性质得出BE=BF,∠EBF=90°,再根据正方形的性质得出AB=BC,∠ABC=90°,根据余角的性质得到∠EBA=∠CBF,最后根据SAS证明结果;
(2)延长CF,交AE于点G,根据补角的性质得出∠AEB+∠BFG=180°,再根据四边形内角和得出∠EGF+∠EBF=180°,从而可得∠EGF=90°,即可得到结果.
解:(1)∵△EBF为等腰直角三角形,
∴BE=BF,∠EBF=90°,
则∠EBA+∠FBA=90°,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,则∠ABF+∠CBF=90°,
∴∠EBA=∠CBF,
又∵BE=BF,AB=BC,
∴△ABE≌△CBF(SAS);
(2)延长CF,交AE于点G,
由(1)得:∠CFB=∠AEB,
∵∠CFB+∠BFG=180°,
∴∠AEB+∠BFG=180°,
∴∠EGF+∠EBF=180°,
∵∠EBF=90°,
∴∠EGF=90°,
∴CF⊥AE.
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【题目】时下娱乐综艺节目风靡全国,随机对九年级部分学生进行了一次调查,对最喜欢《我是喜剧王》(记为A)、《王牌对王牌》(记为B)、《奔跑吧,兄弟》(记为C)、《欢乐喜剧人》(记为D)的同学进行了统计(每位同学只选择一个最喜欢的节目),绘制了以下不完整的统计图,请根据图中信息解答问题:
(1)求本次调查一共选取了多少名学生;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若九年级共有1900名学生,估计其中最喜欢《奔跑吧,兄弟》的学生大约是多少名.
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【题目】如图,经过原点的抛物线与直线交于,两点,其对称轴是直线,抛物线与轴的另一个交点为,线段与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式,并写出点的坐标;
(2)若点为线段上一点,且,点为线段上不与端点重合的动点,连接,过点作直线的垂线交轴于点,连接,探究在点运动过程中,线段,有何数量关系?并证明所探究的结论;
(3)设抛物线顶点为,求当为何值时,为等腰三角形?
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【题目】已知抛物线与铀交于两点,与轴交于点,顶点为.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若将抛物线沿轴平移后得到抛物线,抛物线经过点且与轴交于点,顶点为.在抛物线上是否存在一点使?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】定义:我们知道,四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”;
理解:
⑴ 如图1,△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上,若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形,请用无刻度的直尺在网格中画出点D(保留画图痕迹,找出3个即可);
⑵ 如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=80°,∠ADC=140°,对角线BD平分∠ABC. 请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗?请说明理由;
运用:
⑶ 如图3,已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”, ∠EFH=∠HFG=30°.连接EG,若△EFG的面积为,求FH 的长.
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【题目】如图,抛物线与轴交于两点,于轴交于点,连接,已知.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是线段上一动点,过点P作轴,交抛物线于点D,求的长的最大值;
(3)若点E是轴上一点,以为顶点的三角形是腰三角形,求点的坐标.
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【题目】某软件开发公司开发了A、B两种软件,每种软件成本均为1400元,售价分别为2000元、1800元,这两种软件每天的销售额共为112000元,总利润为28000元.
(1)该店每天销售这两种软件共多少个?
(2)根据市场行情,公司拟对A种软件降价销售,同时提高B种软件价格.此时发现,A种软件每降50元可多卖1件,B种软件每提高50元就少卖1件.如果这两种软件每天销售总件数不变,那么这两种软件一天的总利润最多是多少?
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【题目】如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PA,PB,AB,已知∠PBA=∠C.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为,求BC的长.
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