Question

14．如图，点A，B在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，点A的坐标为（$\sqrt{3}$，3），点C在x轴上，且使△AOC是等边三角形，BC∥OA．
（1）求反比例函数的解析式和OC的长；
（2）求点B的坐标；
（3）求直线BC的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求得m的值；结合等边三角形的性质和勾股定理来求OC的长度；
（2）过点B作BE⊥x轴于点E，设CE=a，则$OE=2\sqrt{3}+a$，$BE=\sqrt{3}a$，把点B的坐标代入函数解析式，列出关于a的方程，通过解方程求得a的值，易得点B的坐标；
（3）设直线BC为y=kx+b，则B、C两点的坐标分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得系数的值．

解答 解：（1）点A（$\sqrt{3}$，3）在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴$3=\frac{m}{{\sqrt{3}}}$，$m=3\sqrt{3}$，
∴$y=\frac{{3\sqrt{3}}}{x}$，$OC=OA=\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{3^2}}=2\sqrt{3}$．

（2）过点B作BE⊥x轴于点E，
设CE=a，则$OE=2\sqrt{3}+a$，$BE=\sqrt{3}a$，
∵点B在$y=\frac{{3\sqrt{3}}}{x}$上，
∴$\sqrt{3}a=\frac{{3\sqrt{3}}}{{2\sqrt{3}+a}}$，
即${a^2}+2\sqrt{3}a-3=0$，
解得$a=-\sqrt{3}±\sqrt{6}$，
∵a＞0，
∴$a=\sqrt{6}-\sqrt{3}$，$OE=2\sqrt{3}+\sqrt{6}-\sqrt{3}=\sqrt{6}+\sqrt{3}$，$BE=\sqrt{3}（\sqrt{6}-\sqrt{3}）=3\sqrt{2}-3$，
∴B的坐标为（$\sqrt{6}+\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}-3$）；

（3）设直线BC为y=kx+b，则$\left\{{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}k+b=0}\\{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）k+b=3\sqrt{2}-3}\end{array}}\right.$，
两式相减得，$（\sqrt{6}-\sqrt{3}）k=3\sqrt{2}-3$，$k=\frac{{3\sqrt{2}-3}}{{\sqrt{6}-\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$，
∴$b=-2\sqrt{3}k=-6$，
∴所求的直线解析式是$y=\sqrt{3}x-6$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数解析式以及正三角形的性质．解题时，注意函数图象上点的坐标的特征的应用．