【题目】如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:①AD=BE;②AP=BQ;③PQ∥AE;④DE=DP;⑤∠AOE=120°;其中正确结论的个数为( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】C
【解析】
①由于△ABC和△CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,从而证出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE,故①正确;
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,加之∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△ACP≌△BCQ(ASA),所以AP=BQ;故②正确;
③根据②△CQB≌△CPA(ASA),再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形,又由∠PQC=∠DCE,根据内错角相等,两直线平行,可知③正确;
④根据∠QCP=60°,∠DPC=∠BCA+∠PAC>60°,可知PD≠CD,可知④错误;
⑤利用等边三角形的性质,BC∥DE,再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,由平角的性质可得∠AOE=120°,可知⑤正确;
①∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠BCA=∠DCB=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴AD=BE,故①正确;
由(1)中的全等得∠CBE=∠DAC,且BC=AC,∠ACB=∠BCQ=60°
∴△CQB≌△CPA(ASA),
∴AP=BQ,故②正确;
∵△CQB≌△CPA,
∴PC=PQ,且∠PCQ=60°
∴△PCQ为等边三角形,
∴∠PQC=∠DCE=60°,
∴PQ∥AE,故③正确,
∵∠QCP=60°,∠DPC=∠BCA+∠PAC>60°,
∴PD≠CD,
∴DE≠DP,故④DE=DP错误;
∵BC∥DE,
∴∠CBE=∠BED,
∵∠CBE=∠DAE,
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°,
∴∠AOE=120°,故⑤正确,
故选C.
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【题目】数形结合是解决数学问题的重要思想方法,借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释. 如图1,有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片. 用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形,通过计算面积可以解释因式分解:.
(1)如图3,用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片,可以拼出以下长方形,根据它的面积来解释的因式分解为________;
(2)若解释因式分解,需取A类、B类、C类卡片若干张(三种卡片都要取到),拼成一个长方形,请画出相应的图形;
(3)若取A类、B类、C类卡片若干张(三种卡片都要取到),拼成一个长方形,使其面积为,则m的值为________,将此多项式分解因式为________.
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【题目】南江县在“创国家级卫生城市”中,朝阳社区计划对某区域进行绿化,经投标,由甲、乙两个工程队来完成,已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍,并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时,甲队比乙队少用4天.求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积是多少?
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【题目】如图,直线y=2x+3与y轴交于A点,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B,过点B作BC⊥x轴于点C,且C点的坐标为(1,0).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)点D(a,1)是反比例函数y=(x>0)图象上的点,在x轴上是否存在点P,使得PB+PD最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某超市有甲、乙、丙三种商品,原价分别为20元/件,50元/件,30元/件.小慧一共购买了三次,仅有一次购买时丙商品打折,其余均无打折.前两次购买甲商品的数量相同,记为件,第三次购买甲的数量记为件,乙的数量记为件,其余各商品的数量与总费用信息如下表:
购买次数 | 甲的数量(件) | 乙的数量(件) | 丙的数量(件) | 购买费用(元) |
第一次 | 4 | 3 | 390 | |
第二次 | 4 | 5 | 375 | |
第三次 | 4 | 320 |
(1)小慧第________次购买的丙商品有打折,求本次丙商品打几折?
(2)若第三次购买的每种商品不少于1件,问第三次购买商品的数量总和是多少件?
(3)五一期间,该超市这三种商品的单价都有所下降,以每件下降金额来比较,乙商品是甲商品的2倍,丙商品是甲商品的倍.小玮在此期间分别花了160元、210元、120元来购买甲、乙、丙三种商品,结果甲、丙的数量之和是乙的3倍,求本次购买跟原价相比共节省了多少元?
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【题目】(2013年四川攀枝花12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;
(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出以下结论:①abc<0 ②b2﹣4ac>0 ③4b+c<0 ④若B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1>y2⑤当﹣3≤x≤1时,y≥0,
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)__________________.
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【题目】尺规作图:作点A关于直线l的对称点A'.
已知:直线l和l外一点A.
求作:点A关于l的对称点A'.
作法:①在l上任取一点P,以点P为圆心,PA长为半径作孤,交l于点B;②以点B为圆心,AB长为半径作弧,交弧AB于点A'. 点A'就是所求作的对称点.
由步骤①,得________
由步骤②,得________
将横线上的内容填写完整,并说明点A与A'关于直线l对称的理由________.
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