Question

【题目】如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（　　）

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；

②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故②正确；

③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；

④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；

⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；

①∵△ABC和△CDE为等边三角形

∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°

∴∠ACD＝∠BCE

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴AD＝BE，故①正确；

由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°

∴△CQB≌△CPA（ASA），

∴AP＝BQ，故②正确；

∵△CQB≌△CPA，

∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°

∴△PCQ为等边三角形，

∴∠PQC＝∠DCE＝60°，

∴PQ∥AE，故③正确，

∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，

∴PD≠CD，

∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；

∵BC∥DE，

∴∠CBE＝∠BED，

∵∠CBE＝∠DAE，

∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，

∴∠AOE＝120°，故⑤正确，

故选C．