Question

4．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=-x²+bx+c与直线BC交于点D（3，-4）
（1）求直线BD和抛物线对应的函数解析式；
（2）在抛物线对称轴上求一点P的坐标，使△ABP的周长最小；
（3）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线y=2x+2可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；
（2）直接得出A点对应点进而利用对称点的性质得出P点位置进而得出答案；
（3）如图①，②，由（1）的解析式设M（a，-a²+a+2），当△MON∽△BCO或△MON∽△CBO时，由相似三角形的性质就可以求出结论．

解答 解：（1）∵y=2x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴B（0，2）．
当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0）．
∵抛物线y=-x²+bx+c过点B（0，2），D（3，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{-4=-9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+x+2；
设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4=3k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为：y=-2x+2；

（2）对称轴为：x=$\frac{1}{2}$，点A（-1，0）关于对称轴的对称点为：A'（2，0），
则直线A'B的解析式为：y=-x+2，当x=$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{3}{2}$，此时P点使△ABP的周长最小；
直线A'B与直线x=$\frac{1}{2}$的交点P的坐标是：（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（3）存在，①如图①，当△MON∽△BCO时，
则$\frac{ON}{CO}$=$\frac{MN}{BO}$，即$\frac{ON}{1}$=$\frac{MN}{2}$，
故MN=2ON．设ON=a，则M（a，2a），
则-a²+a+2=2a，
解得：a₁=-2（不合题意，舍去），a₂=1，
∴M（1，2）；
②如图②，当△MON∽△CBO时，$\frac{ON}{BO}$=$\frac{MN}{CO}$，即$\frac{ON}{2}$=$\frac{MN}{1}$，
故MN=$\frac{1}{2}$ON．设ON=n，则M（n，$\frac{n}{2}$），
则-n²+n+2=$\frac{n}{2}$，
解得n₁=$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$（不合题意，舍去），n₂=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，
故M（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）．
综上所述：存在这样的点M（1，2）或（$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{33}}{8}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用等知识，解答时求出函数的解析式是关键．