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综合实践
问题背景
某课外兴趣小组在一次折纸活动中,折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD(如图1),将点B分别与点A,A1,A2,…,D重合,然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点,用平滑的曲线顺次连接各交点,得到一条曲线.
探索
如图2,在平面直角坐标系xOy中,将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合,BC边放在x轴的正半轴上,AB=m,AD=n(m≤n),将纸片折叠,MN是折痕,使点B落在边AD上的E处,过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,交直线MN于点P,连接OP
(1)求证:四边形OMEP是菱形;
(2)设点P坐标为(x,y),求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(用含m、n的式子表示)
运用
(3)将长方形纸片ABCD如图3所示放置,AB=8,AD=12,将纸片折叠,当点B与点D重合时,折痕与DC的延长线交于点F.试问在这条折叠曲线上是否存在K,使得△KCF的面积是△KOC面积的,若存在,写出点K的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)如果四边形的四边相等,那么这个四边形是菱形.
(2)根据P点的坐标,可表示出E点的坐标,从而可知道OP的长,用勾股定理表示出解析式.
(3)画出图形,从图上可看出不存在.
解答:解:(1)∵AB∥EQ,
∴∠OMP=∠EPM,
∵∠EPM=∠OPM,
∴∠OMP=∠OPM,
∴OM=OP,
∵OM=EM,OP=EP,
∴四边形OMEP是菱形.

(2)∵E点的坐标为(x,m),
OP=EP=m-y,
∴(m-y)2=x2+y2
y=-+(0<x<).

(3)根据(2)知,点K的坐标为(x,-+4).
设EC的长为x,DE=BE=12-x,DC=8,
x2+82=(12-x)2
x=
同理:GH=,DH=
△ECF∽△DHF,
=
=
解得CF=5,
∴△ECF的面积为:CE•CF=××5=
△OCK的面积为:×12(-+4).
△KCF的面积:×(-+4)+
根据△KCF的面积是△KOC面积得,××12(-+4)=×(-+4)+
可求出x=4
所以K的坐标为:(4,1).
点评:本题考查了菱形的判定定理,矩形的性质,相似三角形的性质,相似三角形的面积比等于相似比的平方以及翻折变换的知识.
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科目:初中数学 来源: 题型:

问题背景  某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:
①如图1,O是正三角形ABC的中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON=120°,则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一.
②如图2,O是正方形ABCD的中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON=90°,则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一.
然后运用类比的思想提出了如下的命题:
③如图3,O是正五边形ABCDE的中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON=72°,则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一.
任务要求
(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:
如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,O是中心,∠MON分别与AB、BC交于点P,Q,若∠MON 等于多少度时,则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一?(不要求证明)
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科目:初中数学 来源: 题型:

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某课外兴趣小组在一次折纸活动中,折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD(如图1),将点B分别与点A,A1,A2,…,D重合,然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点,用平滑的曲线顺次连接各交点,得到一条曲线.
探索
如图2,在平面直角坐标系xOy中,将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合,BC边放在x轴的正半轴上,AB=m,AD=n(m≤n),将纸片折叠,MN是折痕,使点B落在边AD上的E处,过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,交直线MN于点P,连接OP
(1)求证:四边形OMEP是菱形;
(2)设点P坐标为(x,y),求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(用含m、n的式子表示)
运用
(3)将长方形纸片ABCD如图3所示放置,AB=8,AD=12,将纸片折叠,当点B与点D重合时,折痕与DC的延长线交于点F.试问在这条折叠曲线上是否存在K,使得△KCF的面积是△KOC面积的
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,若存在,写出点K的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•山西模拟)问题背景  某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下命题:
①如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN.
②如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN.
然后运用类比的思想提出了如下的命题:
③如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,则BM=CN.

任务要求
(1)请你对命题③进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:如图4,在五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,当∠BON=108°时,请问结论BM=CN是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:2010年江苏省镇江市扬中市外国语学校中考数学一模试卷(解析版) 题型:解答题

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