Question

如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P。

（1）求证：PA·PE=PC·PF；
（2）求证：；
（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC∶CE∶EP=3∶4∶5时，求△PEC与△FAP的面积的比值。

Answer 1

解：（1）证明：连接AB，
∵CA切⊙O'于A，
∴∠CAB=∠F，
∵∠CAB=∠E，
∴∠E=∠F，
∴AF∥CE，
∴，
∴PA·PE=PC·PF①；
（2）证明：在⊙O中，，
①×②得，
∴；
（3）连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，
而PC：CE：EP=3：4：5，
∴PA：FA：PF=3：4：5，
设PC=3x，CE=4x，EP=5x，
∴，
∴∠C=∠CAF=90°，
∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径，
∵⊙O与⊙O'等圆，
∴AE=AF=4y，
∵AC²+CE²=AE²，
∴（3x+3y）²+（4x）²=（4y）²，即25x²+18xy-7y²=0，
即（25x-7y）（x+y）=0，
∴，
∴。