Question

9．如图，正方形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，点F为正方形ABCD外一点，点E在BF上，且四边形AEFC是菱形．
（1）求菱形AEFC的面积；
（2）求BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，交AC于O，作EH⊥AC，交AC于H，由正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AC，得出AC=$\sqrt{2}$AB=2，证明四边形BEHO是矩形，得出EH=OB=$\frac{1}{2}$AC=1，即可得出菱形的面积；
（2）过E作EH⊥AB，交AB的延长线于H，先证明△BEH是等腰直角三角形，得出BH=EH，设BH=EH=a，由勾股定理得出方程，解方程求出BH，即可得出BF的长．

解答 解：（1）连接BD，交AC于O，作EH⊥AC，交AC于H，如图1所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AB=$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=2，
∵四边形AEFC是菱形，
∴AC=CF，AC∥EF，
∵EH⊥AC，∠DBC=∠ABD=∠CBF=45°，
∴∠BOH=∠OHE=∠OBE=90°，
∴四边形BEHO是矩形，
∴EH=OB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴S_菱形AEFC=AC•EH=2×1=2；
（2）过E作EH⊥AB，交AB的延长线于H，如图2所示：
由（1）得：AC=2，
∵四边形AEFC是菱形，
∴EF=AC=AE=2；AC∥BF，
∵正方形对角线互相垂直，
∴AC⊥BD；
∴BF⊥BD，
∵∠ABD=∠CBD=45°，
∴∠CBF=∠EBH=45°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴BH=EH，
设BH=EH=a，
则在Rt△AEH中有：AE²=AH²+EH²，
即：2²=（$\sqrt{2}$+a）²+a²，
整理得：a²+$\sqrt{2}$a-1=0
解得：a₁=$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，a₂=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$（不合题意，舍去）
∴BE=$\sqrt{2}$BH=$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$×$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$=$\sqrt{3}$-1，
∴BF=BE+EF=（$\sqrt{3}$-1）+2=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了正方形的性质、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．