Question

如图，等圆⊙O₁和⊙O₂相交于A，B两点，⊙O₂经过⊙O₁的圆心O₁，两圆的连心线交⊙O₁于点M，交AB于点N，连接BM，已知AB=2

3

．
（1）求证：BM是⊙O₂的切线；
（2）求

AM

的长．

Answer 1

分析：（1）连接O₂B，由MO₂是⊙O₁的直径，得出∠MBO₂=90°从而得出结论：BM是⊙O₂的切线；
（2）根据O₁B=O₂B=O₁O₂，则∠O₁O₂B=60°，再由已知得出BN与O₂B，从而计算出弧AM的长度．

解答：（1）证明：连接O₂B，
∵MO₂是⊙O₁的直径，
∴∠MBO₂=90°，
∴BM是⊙O₂的切线；

（2）解：∵O₁B=O₂B=O₁O₂，
∴∠O₁O₂B=60°，
∵AB=2

3

，
∴BN=

3

，
∴O₂B=2，
∴

AM

=

BM

=

120π×2

180

=

4π

3

．

点评：本题考查了切线的判定和性质、弧长的计算以及相交两圆的性质，是基础知识要熟练掌握．