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完成表格，观察表格中的两个根的和与积，它们与原来的方程的系数有什么关系？
方程 x₁ x₂ x₁+x₂ x₁x₂
x²-2x=0 0 2
x²+3x-4=0 -4 1
x²-5x+6=0 2 3
（1）请用文字语言概括你的发现．
（2）一般的，对于关于x的方程x²+px+q=0（p、q为常数，p²-4q≥0）的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=，x₁x₂=__
（3）运用以上发现解决下列问题：已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的两根，求代数式（1+x₁）（1+x₂）的值．

解：（1）第一行：2、0，第二行：-3、4；第三行：5、6．
规律为：x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q；

（2）若x₁和x₂是方程x²+px+q=0（p、q为常数，p²-4q≥0）的两个根．
那么x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．

（3）根据根与系数的关系得：x₁+x₂=1，x₁x₂=-3．
则（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁x₂=1+1-3=-1．
分析：（1）求出各方程两根之和与两根之积，再与方程的系数比较找出规律即可；
（2）根据根与系数的关系进行求解．
（3）代数式（1+x₁）（1+x₂）可以变形为代数式1+x₁+x₂+x₁x₂，再根据根与系数的关系进行求解．
点评：考查了根与系数的关系，了解根与系数的关系的猜想以及证明过程，熟练运用根与系数的关系求一些关于两根的代数式的值．

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科目：初中数学 来源： 题型：

23、完成表格，观察表格中的两个根的和与积，它们与原来的方程的系数有什么关系？

方程	x₁	x₂	x₁+x₂	x₁x₂
x²-2x=0	0	2	2	0
x²+3x-4=0	-4	1	-3	-4
x²-5x+6=0	2	3	5	6

（1）请用文字语言概括你的发现．

若二次项系数为1，常用以下关系：x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q

（2）一般的，对于关于x的方程x²+px+q=0（p、q为常数，p²-4q≥0）的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=

-p

，x₁x₂=

（3）运用以上发现解决下列问题：已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的两根，求代数式（1+x₁）（1+x₂）的值．

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科目：初中数学 来源： 题型：

我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数．
（1）通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）：

（2）我们发现，表一中a为大于l的奇数，此时b、c的数量关系是

b+1=c

；表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是

b+2=c

；
（3）一般地，对于表一，用含a的代数式表示b=

a2-1

；对于表二，用含a的代数式表示b=

-1

；
（4）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，l2，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系…．请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当a=

，b=

时，斜边c的值．

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科目：初中数学 来源： 题型：解答题

我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数．
（1）通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）：

（2）我们发现，表一中a为大于l的奇数，此时b、c的数量关系是；表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是；
（3）一般地，对于表一，用含a的代数式表示b=；对于表二，用含a的代数式表示b=；
（4）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，l2，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系…．请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当a= $数学公式$ ，b= $数学公式$ 时，斜边c的值．

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科目：初中数学 来源：2009-2010学年湖北省随州市外国语学校九年级（上）第一次段考数学试卷（解析版） 题型：解答题

完成表格，观察表格中的两个根的和与积，它们与原来的方程的系数有什么关系？

方程	x₁	x₂	x₁+x₂	x₁x₂
x²-2x=0		2	______	______
x²+3x-4=0	-4	1	______	______
x²-5x+6=0	2	3	______	______

（1）请用文字语言概括你的发现．______
（2）一般的，对于关于x的方程x²+px+q=0（p、q为常数，p²-4q≥0）的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=______，x₁x₂=______
（3）运用以上发现解决下列问题：已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的两根，求代数式（1+x₁）（1+x₂）的值．

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