Question

四边形ABCD是正方形（正方形四边相等，四个角都是90°），BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，
（1）如图1，若点G在BC边上时（不与点B、C重合），求证：△ABF≌△DAE；
（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系是

EF=AF-BF

；
（3）①如图2，若点G在CD边上时（不与点C、D重合），则图中全等三角形是

△ABF≌△DAE

，线段EF与AF、BF的等量关系是

EF=BF-AF

；
②如图3，若点G在CD延长线上时，线段EF与AF、BF的等量关系是

EF=AF+BF

；
（4）请画图、探究点G在BC延长线上时，线段EF与AF、BF的等量关系是

EF=BF-AF

；（直接写出结果，不必证明）．

Answer 1

分析：（1）根据同角的余角相等得出∠BAF=∠ADE，再利用AAS得出△ABF≌△DAE即可；
（2）利用全等三角形的性质得出BF=AE，则EF=AF-AE=AF-BF；
（3）①根据同角的余角相等得出∠BAF=∠ADE，再利用AAS得出△ABF≌△DAE，再利用全等三角形的性质得出BF=AE，则EF=AF-AE=AF-BF；
②根据已知得出∠BAF=∠ADE，再利用AAS得出△ABF≌△DAE，再利用全等三角形的性质得出BF=AE，则EF=AF+AE=AF+BF；
（4）根据同角的余角相等得出∠BAF=∠ADE，再利用AAS得出△ABF≌△DAE，再利用全等三角形的性质得出BF=AE，则EF=AF-AE=AF-BF．

解答：证明：（1）如图1，∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠ADE（同角的余角相等），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
在△ABF和△DAE中

∠AFB=∠DAE ∠BAF=∠ADE AB=AD

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），

（2）∵△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，
∴EF=AF-AE=AF-BF；
故答案为：EF=AF-BF；

（3）①如图2，∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠ADE（同角的余角相等），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
在△ABF和△DAE中

∠AFB=∠DAE ∠BAF=∠ADE AB=AD

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE=BF，
∴EF=AE-AF=BF-AF，
即EF=BF-AF；
故答案为：△ABF≌△DAE，EF=BF-AF；

②如图3，∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠FAB+∠DAE=90°，
∵∠DAE+∠ADE=90°
∴∠BAF=∠ADE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
在△ABF和△DAE中

∠AFB=∠DAE ∠BAF=∠ADE AB=AD

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，
∴EF=AF+AE=AF+BF；
故答案为：EF=AF+BF；

（4）如图4，∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠ADE（同角的余角相等），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
在△ABF和△DAE中

∠AFB=∠DAE ∠BAF=∠ADE AB=AD

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE=BF，
∴EF=AE-AF=BF-AF，
即EF=BF-AF；
故答案为：EF=BF-AF．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，得出∠BAF=∠ADE再根据全等三角形的判定与性质得出是解题关键．