Question

如图，已知直径与等边△ABC的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若△ABC的边长为a，求△ECG的面积．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是等边三角形可知∠B、∠C的度数，又因AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，可知BD=BE，故可以证明两直线平行．
（2）分别连接OD、OE，作EH⊥AC于点H，由题意知条件可求出AO=OC，由圆O的直径等于△ABC的高，得半径OG，进而求出CG，EH，
有三角形面积公式求出数值．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，∠C=60°；
∵AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，
∴BD=BE，
∴∠BDE=60°，∠A=60°，有DE∥AC．

（2）分别连接OD、OE，作EH⊥AC于点H．
∵AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，O是圆心，
∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE，AD=EC．
∴△ADO≌△CEO，有AO=OC=

1

2

a．
∵圆O的直径等于△ABC的高，得半径OG=

3

4

a，
∴CG=OC+OG=

1

2

a+

3

4

a，
∵EH⊥OC，∠C=60°，
∴∠COE=30°，EH=

3

8

a；
∵S_△ECG=

1

2

CG•EH=

1

2

（

3

4

a+

1

2

a）•

3

8

a，
∴S△ECG=

3

64

a2+

3

32

a2=

3+2 3

64

a2．

点评：本题是一道综合性很强的习题，考查到切线的性质，全等三角形的判断，等边三角形的性质等，是一道很不错的题．