Question

如图，二次函数y=-

1

36

ax2+

1

4

ax+a（a＞0）的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B、C，过A点作x轴的平行线交抛物线于另一点D，线段OC上有一动点P，连接DP，作PE⊥DP，交y轴于点E．问题：
（1）当a变化时，线段AD的长是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出AD的长；
（2）若a为定值，设OP=x，OE=y，试求y关于x的函数关系式；
（3）若在线段OC上存在不同的两点P₁、P₂使相应的点E₁、E₂都与点A重合，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式，可得到点A的坐标和抛物线的对称轴方程，进而可表示出点D的坐标，根据A、D的坐标，即可判断出AD的长是否为定值．
（2）过D作DF⊥x轴于F，可用x表示出PF的长，而DF=a，利用△PEO∽△DPF得到的比例线段即可求得y、x的函数关系式，要注意的是在用x表示PF长的时候，要分两种情况讨论：①点E在x轴上方时，②点E在x轴下方时．
（3）若E、A重合，那么OE=y=a，将其代入（2）题得到的y、x的函数关系式中，可得到关于x的方程，由于不同的两点P₁、P₂使相应的点E₁、E₂都与点A重合，那么方程的判别式△＞0，由此求得a的取值范围．

解答：解：（1）DA的长度不变；
由抛物线的解析式知，其对称轴为：x=

9

2

；
易知A（0，a），则D（9，a），
故AD=9．

（2）易求得B（-3，0），C（12，0）；
①当0＜x＜9时，过D作DF⊥OC于F，
则FC=OC-AD=3，PF=9-x；
由△POE∽△DFP，
得

OE

PF

=

OP

DF

，
∴

9-x

y

=

a

x

，
即y=-

1

a

x²+

9

a

x；
②当9＜x＜12时，点E在x轴的下方，过D作DF⊥OC于F；
由△POE∽△DFP，
得

OE

PF

=

OP

DF

，
∴

y

x-9

=

x

a

，
即y=-

1

a

x²-

9

a

x；

（3）当y=a时，a=-

1

a

x²+

9

a

x，化为x²-9x+a²=0；
由题意得：△＞0，
即9²-4a²＞0，
又因为a＞0，
所以0＜a＜

9

2

．

点评：此题考查了二次函数的对称性、相似三角形的判定和性质、根的判别式等知识；（2）题考虑问题要全面，不要遗漏点E在x轴下方的情况．