Question

如果一个圆的直径和它的一条弦长分别为a、b，且这条弦的弦心距是正有理数，又已知a、b都是两位正整数，它们的十位数字和个位数字刚好互换位置．则a²+b²的值是

 

．

Answer 1

分析：设a=10x+y，b=10y+x，0＜y＜x＜10，x，y∈N，根据这条弦的弦心距是正有理数即可求出a与b的值，从而得出答案．

解答：解：设a=10x+y，b=10y+x，0＜y＜x＜10，x，y∈N，
∵这条弦的弦心距是正有理数，
∴

( a 2 )2-( b 2 )2

∈正有理数，
即

3

2

11(x2-y2)

是有理数必有x²-y²=11×t²，t∈N，且x²-y²=11×t²≤81，
得t=1或2 当t=1时，符合条件的x、y为6、5，
即a=65，b=56，当t=2时，无符合条件的x、y，
综上，a=65，b=56，
∴a²+b²=7361，
故答案为：7361．

点评：本题考查了完全平方数及十进制表示法，难度一般，关键是正确设出a，b的表示形式．