【题目】如图,AB是⊙O的直径,⊙O过AC的中点D,DE切⊙O于点D,交BC于E.
(1)求证DE⊥BC;
(2)若⊙O的半径为5,BE=2,求DE的长度.
【答案】(1)证明见解析;(2)DE=4
【解析】
(1)连接OD ,DE是切线,则OD⊥DE,则OD是△ABC的中位线,可得OD∥BC,据此即可求证;
(2)过B作OD的垂线,垂足为F,证明四边形DFBE为矩形,Rt△OFB中用勾股定理即可求得DE的长度.
证明(1)连接OD
∵DE切⊙O于点D
∴OD⊥DE
∴∠ODE=90°
∵D是AC的中点,O是AB的中点
∴OD是△ABCD的中位线
∴OD∥BC
∴∠DEC=90°
∴DE⊥BC
(2)过B作BF⊥OD
∵BF⊥OD
∴∠DFB=90°
∴∠DFB=∠DEB=∠ODE=90°
∴四边形DFBE为矩形
∴DF=BE=2
∴OF=OD-DF=5-2=3
∴DE=BF=4
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【题目】如图,已知一次函数y=ax+b(a,b为常数,a≠0)的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,且与反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象在第二象限内交于点C,作CD⊥x轴于,若OA=OD=OB=3.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)观察图象直接写出不等式0<ax+b≤的解集.
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【题目】某公司生产的商品的市场指导价为每件150元,公司的实际销售价格可以浮动x个百分点(即销售价格=150(1+x%)),经过市场调研发现,这种商品的日销售量y(件)与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y=﹣2x+24.若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售,每件商品仍可获利10%.
(1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元?
(2)当实际销售价格定为多少元时,日销售利润为660元?(说明:日销售利润=(销售价格一成本)×日销售量)
(3)该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a≥1)给希望工程,公司通过销售记录发现,当价格浮动的百分点大于﹣2时,扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小,直接写出a的取值范围.
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【题目】如图,四边形OABC是矩形,ADEF是正方形,点A、D在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,点F在AB上,点B,E在反比例函数y=的图象上,OA=1,OC=6,试求出正方形ADEF的边长.
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【题目】小明同学在学习与圆有关的角时了解到:在同圆或等圆中,同弧(或等弧)所对的圆周角相等.如图,点A、B、C、D均为⊙O上的点,则有∠C=∠D.
小明还发现,若点E在⊙O外,且与点D在直线AB同侧,则有∠D >∠E. 请你参考小明得出的结论,解答下列问题:
(1)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,7),点B的坐标为(0,3),点C的坐标为(3,0) .①在图1中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹,不写作法);
②若在轴的正半轴上有一点D,且∠ACB =∠ADB,则点D的坐标为________;
(2) 如图2,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,m),点B的坐标为(0,n),其中m>n>0.点P为轴正半轴上的一个动点,当∠APB达到最大时,直接写出此时点P的坐标.
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【题目】定义:如果一元二次方程满足,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,已知等边的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合),直线是经过点P的一条直线,把沿直线折叠,点B的对应点是点.
(1)如图1,当时,若点恰好在AC边上,则的长度为 ;
(2)如图2,当时,若直线,则的长度为 ;
(3)如图3,点P在AB边上运动过程中,若直线始终垂直于AC,的面积是否变化?若变化,说明理由;若不变化,求出面积;
(4)当时,在直线变化过程中,求面积的最大值.
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【题目】如图,已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上,过点C作CD⊥AB,分别交AB、AO的延长线于点D、E,AE交半圆O于点F,连接CF.
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系,并说明理由;
(2)若半圆O的半径为12,求涂色部分的周长.
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【题目】2018年非洲猪瘟疫情暴发后,专家预测,2019年我市猪肉售价将逐月上涨,每千克猪肉的售价y1(元)与月份x(1≤x≤12,且x为整数)之间满足一次函数关系,如下表所示.每千克猪肉的成本y2(元)与月份x(1≤x≤12,且x为整数)之间满足二次函数关系,且3月份每千克猪肉的成本全年最低,为9元,如图所示.
月份x | … | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
售价y1/元 | … | 12 | 14 | 16 | 18 | … |
(1)求y1与x之间的函数关系式.
(2)求y2与x之间的函数关系式.
(3)设销售每千克猪肉所获得的利润为w(元),求w与x之间的函数关系式,哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大?最大利润是多少元?
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