Question

如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH=120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．
（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH．
（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．

Answer 1

分析：（1）先有正多边形的内角和定理得出六边形ABCDEF内角的度数，再根据∠FMH=120°，A、M、B在一条直线上，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）①当点M与点A重合时，∠FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，故可直接得出结论；
②当点M与点A不重合时，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG，由全等三角形的判定定理可得出△MBH≌△MBG，再根据全等三角形的性质即可得出结论．

解答：（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴每个内角均为120°．
∵∠FMH=120°，A、M、B在一条直线上，
∴∠AFM+∠FMA=∠FMA+∠BMH=60°，
∴∠AFM=∠BMH．

（2）解：猜想：FM=MH．
证明：①当点M与点A重合时，∠FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM=MH．
②当点M与点A不重合时，
证法一：如图1，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG．
∵∠BAF=120°，AF=AB，
∴∠AFB=∠FBA=30°．
∵

BH=BG ∠MBH=∠MBG MB=MB

，
∴△MBH≌△MBG，
∴∠MHB=∠MGB，MH=MG，
∵∠AFM=∠BMH，∠HMB+∠MHB=30°，
∴∠AFM+∠MGB=30°，
∵∠AFM+∠MFB=30°，
∴∠MFB=∠MGB．
∴FM=MG=MH．
证法二：如图2，在AF上截取FP=MB，连接PM．
∵AF=AB，FP=MB，
∴PA=AM
∵∠A=120°，
∴∠APM=

1

2

×（180°-120°）=30°，
有∠FPM=150°，
∵BQ平分∠CBN，
∴∠MBQ=120°+30°=150°，
∴∠FPM=∠MBH，
由（1）知∠PFM=∠HMB，
∴△FPM≌△MBH．
∴FM=MH．

点评：本题考查的是正多边形和圆，涉及到正多边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度较大．