Question

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，D为边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且E，F分别在边AB，AC上．
（1）如图a，当△ABC是等边三角形时，证明：AE+AF=BC．
（2）如图b，若△ABC中，∠BAC=120°，探究线段AE，AF，AB之间的数量关系，并对你的猜想加以证明．
（3）如图c，若△ABC中，AB=10，BC=16，EF=6，利用你对（1），（2）两题的解题思路计算出线段CD（BD＞CD）的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠EDB=∠FDC=30°，
∴EB=BD，FC=CD，
∴BE+FC=BD+CD=BC，
∴AE+AF=AB+AC-BE-FC=2BC-BC，
∴AE+AF=BC；

（2）解：AE+AF=AB．
理由：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴BE=BD•cos30°，CF=CD•cos30°，
∴AE+AF=AB-BE+AC-CF，
=2AB-BD•cos30°-CD•cos30°，
=2AB-BC•cos30°，
=2AB-2AB•cos30°×cos30°，
=AB，
即AE+AF=AB；

（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，
∵AC=AB=10，BC=16，EF=6，
∴BM=CM=8，
由勾股定理得，AM===6，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴在Rt△BDE中，BE=BD•cos∠B=BD=BD，
在Rt△CDF中，CF=CD•cos∠C=CD=CD，
∴BE+CF=（BD+CD）=BC=×16=，
∴AE+AF=AB+AC-（BE+CF）=2×10-=，
过点F作FG⊥BA的延长线于G，过点C作CN⊥BA的延长线于N，
则S_△ABC=AB•CN=BC•AM，
即×10•CN=×16×6，
解得CN=，
由勾股定理，AN===，
∴sin∠CAN===，
cos∠CAN===，
设AF=x，则AE=-x，
在Rt△AFG中，FG=AF•sin∠CAN=x，
AG=AF•cos∠CAN=x，
∴EG=AE+AG=-x+x=-x，
在Rt△EFG中，EF²=EG²+FG²，
即6²=（-x）²+（x）²，
整理得，5x²-36x+55=0，
解得x₁=5，x₂=，
∵BD＞CD，
∴AF=AE=5，
∴CF=AC-AF=10-5=5，
CD=CF÷cos∠C=5÷=．
分析：（1）根据等边三角形的性质求出∠EDB=∠FDC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EB=BD，FC=CD，然后表示出AE+AF即可；
（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠C=30°，然后解直角三角形表示出BE、CF，再表示出AE+AF整理即可得解；
（3）过点A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形的性质求出BM，再利用勾股定理列式求出AM，根据（2）的思路求出AE+AF，过点F作FG⊥BA的延长线于G，过点C作CN⊥BA的延长线于N，利用△ABC的面积求出CN，再利用勾股定理列式求出AN，设AF=x，然后解直角三角形表示出AG、FG，然后表示出EG，在Rt△EFG中，利用勾股定理列出方程求出x，再求出CF，然后解直角三角形即可得到CD．
点评：本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形等边对等角的性质，勾股定理的应用以及解直角三角形，读懂题目信息理清求解AE+AF的思路是解题的关键，（3）题较为复杂，作辅助线构造出直角三角形并利用勾股定理列出方程，然后求出AF的长是解题的关键．