Question

【题目】如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；

①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；

②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）①当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1；②存在点Q坐标为（，﹣3）

【解析】（1）应用对称轴方程、根与系数关系求b，c

（2）①设出点P坐标表示△BDF面积，求最大值；

②利用勾股定理逆定理，证明∠BDC=90°，则QC⊥y轴，问题可解．

（1）∵抛物线对称轴为直线x=1

∴-＝1

∴b=2

由一元二次方程根与系数关系：

x1+x2=-，x1x2=，

∴，

∴，

则c=-3，

∴抛物线解析式为：y=x2-2x-3；

（2）由（1）点D坐标为（1，-4），

当y=0时，x2-2x-3=0，

解得x1=-1，x2=3，

∴点B坐标为（3，0），

①设点F坐标为（a，b），

∴△BDF的面积S=×（4-b）（a-1）+（-b）（3-a）-×2×4，

整理的S=2a-b-6，

∵b=a2-2a-3，

∴S=2a-（a2-2a-3）-6=-a2+4a-3，

∵a=-1＜0，

∴当a=2时，S最大=-4+8-3=1，

②存在.

由已知点D坐标为（1，-4），点B坐标为（3，0），

∴直线BD解析式为：y=2x-6，

则点E坐标为（0，-6），

连BC、CD，则由勾股定理得，

CB2=（3-0）2+（-3-0）2=18

CD2=12+（-4+3）2=2，

BD2=（-4）2+（3-1）2=20，

∴CB2+CD2=BD2，

∴∠BDC=90°，

∵∠BDC=∠QCE，

∴∠QCE=90°，

∴点Q纵坐标为-3，

代入-3=2x-6，

∴x=，

∴存在点Q坐标为（，-3）