Question

已知关于x的二次函数y=x²-（2m-1）x+m²
（1）m满足什么条件时，二次函数的图象与x轴有两个交点？
（2）设二次函数的图象与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且

x

2 1

+

x

2 2

=5，它的顶点为M，求顶点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）当二次函数与x轴有两个交点，则有相关一元二次方程△＞0，解不等式即可求出m的取值范围；
（2）将

x

2 1

+

x

2 2

=5配方，结合根与系数的关系，列出关于m的方程，求出m的值，得到二次函数的解析式，从而求出其顶点坐标．

解答：解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，则△＞0，即[-（2m-1）²-4m²]＞0，
解得m＜

1

4

；

（2）∵且

x

2 1

+

x

2 2

=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
∴（2m-1）²-2m²=5，
解得m₁=1+

3

（大于

1

4

，舍去）；m₂=1-

3

．
则函数解析式为y=x²-（1-2

3

）x+4-2

3

，
则其顶点坐标为（

1-2 3

2

，

3-4 3

4

）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点及一元二次方程根与系数的关系，将函数问题转化为方程问题是解题的关键．