Question

如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5，BE=1，∠AED=30°．
（1）求OE和OA的长；　
（2）求CD的长．

Answer 1

解：（1）过点O作OF⊥CD于F，连接DO，
∵AE=5，BE=1，
∴AB=6，
∴⊙O的半径为3，
∴OE=3-1=2．
故OE的长为2，OA的长为3；

（2）∵∠AED=30°，
∴OF=1，
∴DF==2，
由垂径定理得：CD=2DF=4．
故CD的长为4．
分析：（1）因为∠AED=30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为3cm，进而求得OE=3-1=2；
（2）首先根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OF=OE=1，再根据勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求出CD的长．
点评：考查了勾股定理，垂径定理和含30度角的直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法．