Question

19．如图所示，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切，切点为B，AC与⊙O相交于点D，点E是$\widehat{AD}$上任一点．
（1）求证：∠BED=∠DBC；
（2）已知：AD=CD=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠A+∠ABD=90°，再根据切线的性质得∠DBC+∠ABD=90°，加上∠A=∠BED，于是可得∠BED=∠DBC；
（2）连接OD，如图，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BD=AD=CD，则可判断△ABD为等腰直角三角形，所以AB=$\sqrt{2}$BD=3$\sqrt{2}$，∠A=45°，再利用圆周角定理得到∠BOD=2∠A=90°，然后根据扇形面积公式，利用S_阴影部分=S_扇形BOD-S_△BOD进行计算即可．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵BC与⊙O相切，切点为B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
即∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠A=∠DBC，
∵∠A=∠BED，
∴∠BED=∠DBC；
（2）解：连接OD，如图，
∵AD=CD=3，
∴BD=AD=CD，
∴△ABD为等腰直角三角形，AB=$\sqrt{2}$BD=3$\sqrt{2}$，
∴∠A=45°，
∴∠BOD=2∠A=90°，
∴S_阴影部分=S_扇形BOD-S_△BOD=$\frac{90•π•（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9π-18}{8}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质和不规则几何图形面积的计算方法．