Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E、F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE，相交于点G，连接CG，与BD相交于点H，下列结论①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2FD，则BG=6GF,其中正确的有____________.（填序号）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

对于①，先证明△ABD为等边三角形，再根据“SAS”证明△AED≌△DFB；

②，先证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，如图，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，再证明△CBM≌△CDN，所以S 四边形BCDG=S 四边形CMGN，求后者的面积即得答案；

③，过点F作FP∥AE于P点，根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．

解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．

∵AB=BD，∴AB=AD=BD，

∴△ABD为等边三角形．

∴∠A=∠BDF=60°．

又∵AE=DF，AD=BD，

∴△AED≌△DFB，故①正确；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，

即∠BGD+∠BCD=180°，

∴点B、C、D、G四点共圆，

∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．

∴∠BGC=∠DGC=60°．

如图，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，则CM=CN.

∴Rt△CBM≌Rt△CDN（HL），

∴S 四边形BCDG=S 四边形CMGN，S 四边形CMGN=2S △CMG，

∵∠CGM=60°，

∴GM= CG，CM= CG，

∴S 四边形CMGN=2S △CMG=2××GM×CM=2××CG× CG= CG 2，故②正确；

③如图，过点F作FP∥AE于P点．

∵AF=2FD，

∴FP：AE=DF：DA=1：3，

∵AE=DF，AB=AD，

∴BE=2AE，

∴FP：BE=1：6=FG：BG，

即BG=6GF，故③正确．

综上所述，正确的结论有①②③．

故答案为：①②③．