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一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃,该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成,每个扇环面如图2所示,它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成,为使得绿化效果最佳,还须使得扇环面积最大.
(1)求使图1花圃面积为最大时R-r的值及此时花圃面积,其中R、r分别为大圆和小圆的半径;
(2)若L=160m,r=10m,求使图2面积为最大时的θ值.
【答案】分析:(1)要求图1花圃面积,就要求出一个大扇形减一个小扇形的面积,然后再利用函数分析讨论最大值.
设图2扇环的圆心角为θ,面积为S,根据题意得:L=+2(R-r)=θ•+2(R-r).求出θ,S的关系式.最后可求得S在R-r=时为最大,最大值为
(2)把值代入上式计算即可.根据(1)可得当R-r=时,S取值最大.把L的值代入可得解.
解答:解:(1)若使形如图1花圃面积为最大,则必定要求图2扇环面积最大.
设图2扇环的圆心角为θ,面积为S,根据题意得:L=+2(R-r),(2分)
L=θ•+2(R-r)
180l-360(R-r)=π(R+r)θ
∴θ=.(3分)
∴S==(4分)
=
=[L-2(R-r)]•(R-r)=-[(R-r)-]2+.(5分)
∵式中0<R-r<
∴S在R-r=时为最大,最大值为.(6分)
∴花圃面积最大时R-r的值为,最大面积为.(7分).

(2)∵当R-r=时,S取值最大,
∴R-r==40(m),R=40+r=40+10=50(m).(8分)
==(度).(10分)
点评:本题综合考查了扇形的面积计算和函数有关知识.
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(1)求使图1花圃面积为最大时R-r的值及此时花圃面积,精英家教网其中R、r分别为大圆和小圆的半径;
(2)若L=160m,r=10m,求使图2面积为最大时的θ值.

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