【题目】如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A,B重合的动点,PC∥AB,点M是OP中点.
(1)求证:四边形OBCP是平行四边形;
(2)填空:
①当∠BOP= 时,四边形AOCP是菱形;
②连接BP,当∠ABP= 时,PC是⊙O的切线.
【答案】(1)见解析;(2)①120°;②45°
【解析】
(1)由AAS证明△CPM≌△AOM,得出PC=OA,得出PC=OB,即可得出结论;
(2)①证出OA=OP=PA,得出△AOP是等边三角形,∠A=∠AOP=60°,得出∠BOP=120°即可;
②由切线的性质和平行线的性质得出∠BOP=90°,由等腰三角形的性质得出∠ABP=∠OPB=45°即可.
(1)证明:∵PC∥AB,
∴∠PCM=∠OAM,∠CPM=∠AOM.
∵点M是OP的中点,
∴OM=PM,在△CPM和△AOM中,
,
∴△CPM≌△AOM(AAS),
∴PC=OA.
∵AB是半圆O的直径,
∴OA=OB,
∴PC=OB.
又PC∥AB,
∴四边形OBCP是平行四边形.
(2)解:①∵四边形AOCP是菱形,
∴OA=PA,
∵OA=OP,
∴OA=OP=PA,
∴△AOP是等边三角形,
∴∠A=∠AOP=60°,
∴∠BOP=120°;
故答案为:120°;
②∵PC是⊙O的切线,
∴OP⊥PC,∠OPC=90°,
∵PC∥AB,
∴∠BOP=90°,
∵OP=OB,
∴△OBP是等腰直角三角形,
∴∠ABP=∠OPB=45°,
故答案为:45°.
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【题目】《国家学生体质健康标准》规定:体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀;达到80.0分至89.9分的为良好;达到60.0分至79.9分的为及格;59.9分及以下为不及格,某校为了了解九年级学生体质健康状况,从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试,测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示。
各等级学生平均分统计表
等级 | 优秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
平均分 | 92.1 | 85.0 | 69.2 | 41.3 |
各等级学生人数分布扇形统计图
(1)扇形统计图中“不及格”所占的百分比是 ;
(2)计算所抽取的学生的测试成绩的平均分;
(3)若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数,请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级。
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,且AO=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为点O,P为半圆上任意一点过P点作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM
(1)求∠OMP的度数;
(2)随着点P在半圆上位置的改变,∠CMO的大小是否改变,说明理由;
(3)当点P在半圆上从点B运动到点A时,直接写出内心M所经过的路径长.
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【题目】如图1,已知三角形纸片△ABC和△DEF重合在一起,AB=AC,DE=DF,△ABC≌△DEF.数学实验课上,张老师让同学们用这两张纸片进行如下操作:
(1)(操作探究1)保持△ABC不动,将△DEF沿射线BC方向平移至图2所示位置,通过度量发现BE:CE=1:2,则S△CGE:S△CAB= ;
(2)(操作探究2)保持△ABC不动,将△DEF通过一次全等变换(平移、旋转或翻折后和△ABC拼成以BC为一条对角线的菱形,请用语言描述你的全等变换过程.
(3)(操作探究3)将两个三角形按图3所示放置:点C与点F重合,AB∥DE.保持△ABC不动,将△DEF沿射线DA方向平移.若AB=13,BC=10,设△DEF平移的距离为m.
①当m=0时,连接AD、BE,判断四边形ABED的形状并说明理由;
②在平移的过程中,四边形ABED能否成为正方形?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.
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【题目】设二次函数(、是实数).
⑴甲求得当时,;当时,,乙求得当时,.若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结果正确吗?说明理由;
⑵写出二次函数的对称轴,并求出该函数的最小值(用含、的代数式表示);
⑶已知二次函数的图像经过,两点(m、n是实数),当时,求证:.
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【题目】已知点P为某个封闭图形边界上的一定点,动点M从点P出发,沿其边界顺时针匀速运动一周,设点M的运动时间为x,线段PM的长度为y,表示y与x的函数图象大致如图所示,则该封闭图形可能是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图所示,某教学活动小组选定测量小山上方某信号塔PQ的高度,他们在A处测得信号塔顶端P的仰角为45°,信号塔低端Q的仰角为31°,沿水平地面向前走100米到处,测得信号塔顶端P的仰角为68°.求信号塔PQ的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:sin68°≈ 0.93,cos68° ≈ 0.37,tan68° ≈ 2.48,tan31° ≈ 0.60,sin31° ≈ 0.52,cos31°≈0.86)
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【题目】 某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况,随机抽取部分男同学进行了1000米跑测试.按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级.学校绘制了如下不完整的统计图.
(1)根据给出的信息,补全两幅统计图;
(2)该校九年级有600名男生,请估计成绩未达到良好有多少名?
(3)某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛,预赛分为A、B、C三组进行,选手由抽签确定分组.甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少?
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【题目】在平面直角坐标系中,线段AB的两个端点A(0,2),B(1,0),点C为线段AB的中点.将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD,连结CD,AD.点P是直线BD上的一个动点.
(1)求点D的坐标和直线BD的解析式;
(2)当∠PCD=∠ADC时,求点P的坐标;
(3)若点Q是经过点B,点D的抛物线y=ax2+bx+2上的一个动点,请你探索:是否存在这样的点Q,使得以点P、点Q、点D为顶点的三角形与△ACD相似.若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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