Question

18．（1）在图1中，已知线段AB，CD，它们的中点分别为E，F．
①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为（1，0）；
②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为（-2，$\frac{1}{2}$）；
（2）在图2中，无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，请直接写出x、y的值：x=$\frac{a+c}{2}$，y=$\frac{b+d}{2}$；（用含a、b、c、d的式子表示）
（3）如图3，一次函数y=x-2与反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象交于A、B两点，若以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出顶点P的坐标：（2，-2），（4，4），（-4，-4）．

Answer 1

分析 （1）①、②直接根据中点坐标公式即可得出结论；
（2）过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，则AA′∥BB′∥CC′，根据平行线分线段定理可知A′D′=D′B′，由中点坐标公式即可得出x，y的值；
（3）先求出AB两点的坐标，再分以AB为对角线，以OA为对角线，以OB为对角线三种情况进行讨论．

解答 解：（1）①设E（x，y），
∵A（-1，0），B（3，0），点E是线段AB的中点，
∴x=$\frac{3-1}{2}$=1，y=$\frac{0+0}{2}$=0，
∴E（1，0）．
故答案为（1，0）；

②设F（x，y），
∵C（-2，2），D（-2，-1），点F是线段CD的中点，
∴x=$\frac{-2-2}{2}$=-2，y=$\frac{2-1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴F（-2，$\frac{1}{2}$）．
故答案为（-2，$\frac{1}{2}$）；

（2）过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，则AA′∥BB′∥CC′．
∵点D为AB的中点，
∴A′D′=D′B′，
∴OD′=a+$\frac{c-a}{2}$=$\frac{a+c}{2}$，即点D的横坐标是$\frac{a+c}{2}$．
同理可得，D点的纵坐标是$\frac{b+d}{2}$，
∴AB的中点坐标为（$\frac{a+c}{2}$，$\frac{b+d}{2}$）．
故答案为：$\frac{a+c}{2}$，$\frac{b+d}{2}$．

（3）∵由题意得$\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\ y=\frac{2}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-3\end{array}\right.$，
∴A（-1，-3），B（3，1）．
如图2，当以AB为对角线时，AB的中点坐标M为（1，-1），
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴OM=OP，
∴P（2，-2）．
如图3，当OB为对角线时，PB=AO，PB∥AO，
同理可得，P（4，4）；
当以OA为对角线时，PA=BO，PA∥BO，
同理可得P（-4，-4）．
综上所述，P点的坐标为（2，-2），（4，4），（-4，-4）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质及中点坐标公式是解答此题的关键．