Question

7．如图，A、B两个村子在河边CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米．现在河边CD建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A、B两村送水，也可以先将水送一村再转送至另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD选择水厂位置确定方案，使铺设水管费用最省．并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．

Answer 1

分析 由于铺设水管的工程费用为每千米20000元，是一个定值，现在要在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，意思是在CD上找一点P，使AP与BP的和最小，设M是A的对称点，使AP+BP最短就是使MP+BP最短．

解答 解：如图所示：延长AC到点M，使CM=AC，连接BM交CD于点P，点P就是所选择的位置．

在直角三角形BMN中，BN=3+1=4，MN=3，
由勾股定理可知：$MB=\sqrt{M{N}^{2}+B{N}^{2}}$=5（千米），
∴最短路线AP+BP=MB=5．最省的铺设管道的费用=5×20000=100000（元）
答：最省的铺设管道的费用是100000元．

点评 本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为几何模型，把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．