Question

如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．
（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．

Answer 1

分析：（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．
（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD=∠FDG=30°，进而求出∠AGD=90°，故△AGD的形状可证．

解答：解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，
可知PE=

AB

2

，
PE∥AB，
∴∠PEF=∠ANF，
同理PF=

CD

2

，
PF∥CD，
∴∠PFE=∠CME，
又PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF，
∴∠OMN=∠ONM，
∴△OMN为等腰三角形．

（2）判断出△AGD是直角三角形．
证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF=

1

2

AB，
同理，HE∥CD，HE=

1

2

CD，
∵AB=CD
∴HF=HE，
∵∠EFC=60°，
∴∠HEF=60°，
∴∠HEF=∠HFE=60°，
∴△EHF是等边三角形，
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，
∴△AGF是等边三角形．
∵AF=FD，
∴GF=FD，
∴∠FGD=∠FDG=30°
∴∠AGD=90°
即△AGD是直角三角形．

点评：解答此题的关键是作出三条辅助线，构造出和中位线定理相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．