Question

【题目】实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高度的圆柱形容器（容器足够高），底面积之比为，用两个相同的管子在高度处连通（即管子底部离容器底），现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升.

（1）开始注水1分钟，丙的水位上升__________；

（2）求出开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的高度之差是？

Answer 1

【答案】（1）；（2）分钟或分钟或分钟.

【解析】

（1）乙、丙两个圆柱形容器底面面积之比为3：1，乙的水位上升，可求出丙上升的高度为；

（2）分四种情况讨论.①甲的高度高于乙的高度0.5cm；②丙、乙都未达6cm时，乙的高度高于甲的高度0.5cm；③丙到达6cm而乙未达6cm时，乙的高度高于甲的高度0.5cm；④丙、乙都到达6cm后，乙的高度高于甲的高度0.5cm.

解：（1）由题意知，乙、丙两个圆柱形容器底面面积之比为3：1，丙的水位上升,

∴开始注水1分钟，丙容器的水位上升了.

（2）设开始注入x分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．由题意分为四种情况：
①甲的高度高于乙的高度0.5cm，则：，解得.

②丙、乙都未达6cm时，乙的高度高于甲的高度0.5cm，

，解得.

③丙到达6cm而乙未达6cm时，乙的高度高于甲的高度0.5cm.因为乙未到达6cm，所以甲的高度不变，而乙的高度在不断上升，故此种情况不符合题意；

④丙、乙都到达6cm后，乙的高度高于甲的高度0.5cm.设乙都到达6cm的时间为y分钟，

∵丙到达6cm时的时间为分钟，

∴，

解得，，

∴，

解得，,

综上所述，当开始注入分钟或分钟或分钟水量后，甲与乙的高度之差是.