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2008年是我国首次举办奥运会的一年,同时也是我们八年级同学完成九年义务教育的最后一年,为迎接2008年的到来,数学刘老师在讲完重要不等式:a+
1a
≥2,a>0后,随手出了这样一道题目:解方程(x2008+1)(1+x2+x4+…+x2006)=2008•x2007,你能求x的值吗?
分析:根据已知得到x>0,方程两边同除以x2007得到(x+
1
x2007
)(1+x2+x4+…+x2006)=2008,展开后得出(x+
1
x
)+(x3+
1
x3
)+…+(x2007+
1
x2007
)=2008,根据x+
1
x
推出(x+
1
x
)+(x3+
1
x3
)+…+(x+
1
x2007
)≥2008,得到方程x=
1
x
,求出即可.
解答:解:易知x>0,方程两边同除以x2007
(x+
1
x2007
)(1+x2+x4+…+x2006)=2008,
∴x+x3+x5+…+x2007+
1
x2007
+
1
x2005
+…+
1
x
=2008,
∴(x+
1
x
)+(x3+
1
x3
)+…+(x2007+
1
x2007
)=2008.
又∵x+
1
x
≥2,x3+
1
x3
≥2,…,x2007+
1
x2007
≥2.
∴(x+
1
x
)+(x3+
1
x3
)+…+(x+
1
x2007
)≥2008.
要使方程成立,必须有x=
1
x
,x3=
1
x3
,…,x2007=
1
x2007
,即x=±1.
但x>0,故x=1,
答:x=1.
点评:本题主要考查对几何不等式的理解和掌握,能把方程转化成x+
1
x
的形式并熟练地运用公式进行计算是解此题的关键.
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