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3.如图,已知△ABC中,∠C=90°,∠EDF=90°,顶点D是斜边AB的中点,角的两边分别交CA,CB于点E,F.
(1)探究AE,BF,EF之间存在何等量关系,并证明你的结论;
(2)将∠EDF绕其顶点旋转,角的两边分别在AC,CB的延长线上,其他条件不变,(1)的结论还成立吗?

分析 (1)AE2+BF2=EF2,连接CD,由△ABC为等腰直角三角形,得到AD=CD,且∠A=∠DCF=45°,再由∠EDF=90°,利用同角的余角相等得到一对角相等,利用ASA得出△ADE与△CDF全等,利用全等三角形的对应边相等得到AE=CF,再由AC=BC,得到CE=BF,在Rt△CEF中,利用勾股定理列关系式,等量代换即可得证;
(2)成立,连接接CD,由△ABC为等腰直角三角形,得到AD=CD=BD,且∠ACD=∠ABC=45°,得到一对邻补角相等,再由∠EDF=90°,利用等式性质得到一对角相等,利用ASA得出△CDE与△BDF全等,利用全等三角形的对应边相等得到CE=BF,得到CE=BF,在Rt△CEF中,利用勾股定理列关系式,等量代换即可得.

解答 (1)AE2+BF2=EF2
证明:如图1,连接CD,
∵AC=BC,∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB,∠A=∠DCF=45°,
∵∠ADE+∠CDE=90°,
又∵∠EDF=90°,
∴∠EDC+∠CDF=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
在△ADE和△CDF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF=45°}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$,
∴△ADE≌△CDF(ASA),
∴AE=CF,又AC=BC,
∴AC-AE=BC-CF,即CE=BF,
在Rt△CEF中,根据勾股定理得:CE2+CF2=EF2
则AE2+BF2=EF2
(2)成立,
证明:如图2,连接CD,
∵AC=BC,∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB,∠ACD=∠ABC=45°,
又∵∠EDF=∠CDB=90°,
∴∠EDF+∠FDC=∠CDB+∠FDC,
∴∠CDE=∠BDF,
在△CDE和△BDF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECD=∠FBD}\\{CD=BD}\\{∠CDE=∠BDF}\end{array}\right.$,
∴△CDE≌△BDF(ASA),
∴CE=BF,又AC=BC,
∴CF=BF-BC=CE-AC=AE,
在Rt△CEF中,根据勾股定理得:CE2+CF2=EF2
则AE2+BF2=EF2

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,利用了等量代换的思想,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

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