Question

12．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=x-2与x轴交于B点，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象在第一象限内交于点A，点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）设直线y=x-2与y轴交于点C，与双曲线的另一个交点为点D，作DE⊥y轴于点E，连结BE，OD，求证：四边形ODEB为平行四边形．

Answer 1

分析 （1）先由一次函数y=x-2的图象过点A，且点A的横坐标为4，将x=4代入y=x-2，求出y的值，得到点A的坐标，再将A点坐标代入y=$\frac{k}{x}$，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）根据直线的解析式确定B的坐标，然后联立方程，确定D的坐标，即可确定OB=DE且DE∥OB，即证得的结论．

解答 解：（1）∵一次函数y=x-2的图象过点A，且点B的横坐标为4，
∴将x=4代入y=x-2得，y=4-2=2，
∴点A的坐标为（4，2）．
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{8}{x}$；
（2）由y=x-2可知B（2，0），
∴OB=2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴D（-2，-4）
∴DE=2，
∴OB=DE，
∵DE⊥y轴于点E，
∴DE∥OB，
∴四边形ODEB为平行四边形．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，垂直于y轴的直线上点的坐标特征，平行四边形的判定，难度适中．求出反比例函数的解析式是解题的关键．